Les indices statistiques

Dans le domaine économique on se trouve en présence de grandeurs pour lesquelles on a d’autant plus de difficultés à saisir leur évolution dans le temps ou dans l’espace ou à la fois dans le temps et dans l’espace.

Exemples :

– Qu’est ce qu’un niveau de vie ?

– Comment évolue un pouvoir d’achat ?

Il faut alors des instruments de mesure qui peuvent donner des renseignements et une image dynamique de ces phénomènes.

Ces instruments sont appelés les indices.

I- Définition des indices

Un indice est un nombre sans dimension permettant de suivre l’évolution et de comparer les valeurs d’une même grandeur susceptible de varier dans différentes situations (temps ; espace ; catégorie socioprofessionnelle …).

Les grandeurs peuvent être soit :

– Simples alors l’indice est dit simple ou élémentaire.

– Complexes alors l’indice est dit synthétique.

II- Les indices simples

1- Calcul de l’indice simple

L’indice étant sans dimension, la connaissance d’une seule valeur n’a donc pas de signification en soi ; par contre la comparaison de plusieurs valeurs apporte une information.

On fixe une situation de base comme référence 0.

La valeur de la grandeur X observée dans cette situation de base sera notée X0.

La même grandeur prenant la valeur Xt dans la situation t.

On peut définir l’indice simple (dit élémentaire) de la grandeur X dans la situation t relativement à la situation de référence 0, le rapport :

It/0 = Xt / X0

Pour des raisons de simple commodité pratique de l’expression de l’indice, le résultat de ce rapport est généralement multipliée par 100, soit :

It/0 = (Xt / X0) . 100

L’interprétation d’un indice simple doit citer la grandeur étudiée, les situations concernées, la valeur et le sens de variation.

Si It/0 > 100, soit a = It/0 – 100.

On dit que la grandeur X a connu une augmentation de a % entre la situationde référence 0 et la situation t.

Si It/0 < 100, soit d = 100 – It/0.

On dit que la grandeur X a connu une diminution de d % entre la situation de référence 0 et la situation t.

Remarque : Dans la définition précédente on a employé le terme général de situations ; le plus souvent il s’agit d’époques.
t sera donc l’époque d’observation ou de calcul de l’indice et 0 l’époque de base.

Exemple : Supposons qu’à une date donnée 0, le prix d’une certaine marchandise soit P0 = 4 euros l’unité. Supposons qu’à une date ultérieure le prix de cette même marchandise soit Pt = 5,20 euros l’unité.

On cherche l’indice simple du prix de la marchandise étudiée à la date t calculée sur la base 100 à la date de référence 0.

It/0 = (Pt / P0) . 100 = (5,20 / 4) . 100 = 130

On remarque que It/0 > 100 donc a = 130 – 100 = 30.

On dit que la marchandise étudiée a connu une augmentation de son prix unitaire de 30 % entre la date de référence 0 et la date d’observation t.

Ainsi on peut dire qu’on dépense 130 euros à la date t pour acquérir la même marchandise qui coûtait 100 euros à la date de base 0.

2- Propriétés des indices simples

Trois propriétés essentielles caractérisent les indices simples.

a) L’identité : Il y a identité lorsque la valeur de l’indice est égale à 100.

It/0 = (Xt / X0) × 100 = 100

Cela signifie que Xt = X0 c’est à dire que la grandeur X étudiée n’a pas enregistré de variation à la date t par rapport à la date de référence 0.

Exemple : Un journal vendu à 2,50 euros à la date de référence 0 (an 1999) est toujours vendu à 2,50 euros à la date d’observation t (an 2004).

It/0 = (2,50 / 2,50) × 100 = 100

b) La réversibilité : Il y a réversibilité lorsque le produit de l’indice d’une grandeur à la date t calculée sur la base 100 à la date de référence 0 par l’indice de la même grandeur à la date 0 calculée sur la base 100 à la date t est égal à 104.

It/0 × I0/t = 104

En effet :

It/0 = (Xt / X0) × 100 et I0/t = (X0 / Xt) × 100 d’où It/0 × I0/t =10000

Ce qui montre qu’un indice simple est réversible.

c) La transférabilité ou la circularité d’un indice

Considérons les mesures X0, Xt et Xt’ d’une grandeur aux dates 0, t et t’.

Soit les trois indices simples suivants :

It/0 = (Xt / X0) × 100  ;  It’/0 = (Xt’ / X0) × 100  ;  It’/t = (Xt’ / Xt) × 100

On dit qu’un indice simple est transférable si : It’/0 = ((1 / 100) It’/t) × It/0

Autrement dit (Xt / X0) = (Xt’ / X0) = (Xt’ / Xt)

Ce qui montre qu’un indice simple est transférable.

Exemple : Soit le prix du litre du gasoil aux dates suivantes :

Juillet 1996 (date 0) P0 = 4 euros.

Octobre 1996 (date t) Pt = 4,32 euros.

Février 1997 (date t’) Pt’ = 5,40 euros.

Calculons les indices simples :

It/0 = (Pt / P0) × 100 = (4,32 / 4) × 100 = 108

It’/0 = (Pt’ / P0) × 100 = (5,40 / 4) × 100 = 135

It’/t = (Pt’ / Pt) × 100 = (5,40/ 4,32) × 100 = 125

On vérifie aisément que It’/0 = ((1 / 100) It’/t) × It/0

Soit 135 = ((1 / 100) 125) × 108

III- Les indices synthétiques

La recherche d’un indice peut ne pas être limitée à la comparaison des mesures d’une seule grandeur aux époques de référence 0 et d’observation t.

On peut en effet envisager de caractériser avec un indice l’évolution de plusieurs grandeurs et de calculer non plus un indice simple mais un indice synthétique.

On distingue deux types d’indices synthétiques :

– Les indices synthétiques simples qui représentent une moyenne arithmétique simple d’indices élémentaires.

– Les indices synthétiques pondérés qui représentent une moyenne pondérée d’indices simples.

1- Principe de construction des indices synthétiques

Construire un indice synthétique, c’est résumer en une seule valeur un grand nombre d’observations de plusieurs grandeurs.

La construction d’un indice synthétique nécessite :

a) Le choix du nombre d’éléments à retenir, c’est à dire l’échantillon d’éléments jugé représentatif.

b) La nature des éléments à retenir :

Il convient de retenir des éléments remplissant les deux conditions suivantes :

– Chaque élément retenu devant être en rapport aussi faible que possible avec les autres éléments également retenus.

– Chaque élément retenu devant être en rapport aussi fort que possible avec les autres éléments non retenus susceptibles de figurer dans l’échantillon.

2- Mode de calcul des indices synthétiques

Le statisticien doit d’abord justifier le choix entre le calcul de l’indice des moyennes ou la moyenne des indices.

Exemple : A partir d’une enquête statistique, on a obtenu les prix d’un kg de viande, d’un litre d’huile, d’un kg de sucre et d’un kg de beurre au cours des périodes 0 et t.

  1 kg de viande 1L d’huile 1 kg de sucre 1 kg de beurre
Prix P0 (euros)          50          6          4         20
Prix Pt (euros)          70          9          5         30

On va calculer l’indice des moyennes arithmétiques des prix et la moyenne arithmétique des indices des prix de chaque produit.

  • L’indice des moyennes des prix

On calcule les moyennes arithmétiques des prix P0 et Pt.L'indice des moyennes des prix
L’indice des moyennes des prix est :

Les indices synthétiques
2) La moyenne des indices :

Cherchons d’abord pour chaque produit la valeur de l’indice élémentaire des prix à la période t calculée sur la base 100 à la période de référence 0.

Indice des prix de la viande (1 kg) : It/0 = 70 / 50 × 100 = 140

Indice des prix de l’huile (1 litre) : It/0 = 9 / 6 × 100 = 150

Indice des prix du sucre (1 kg) : It/0 = 5 / 4 × 100 = 125

Indice des prix du beurre (1 kg) : It/0 = 30 / 20 × 100 = 150

La moyenne arithmétique des indices des prix entre les périodes 0 et t est :

It/0 = (140 + 150 + 125 + 150) / 4 = 141,25

On remarque que la moyenne arithmétique des indices des prix (141,25) est différente de l’indice des moyennes arithmétique des prix (142,5).

Pour justifier le choix on élimine celui qui change avec le changement des unités des produits.

Reprenons le tableau précédent dans lequel remplaçons par exemple l’unité le litre de l’huile par le mètre cube (1000 litres) et le kg du sucre par la tonne soit (1000 kg), on aura le tableau suivant :

  1 kg de viande 1m3 d’huile 1 tonne sucre 1 kg de beurre
Prix   P0 (euros)          50       6000       4000          20
Prix   P(euros)          70       9000       5000          30

Reprenons les mêmes calculs que précédemment et calculons l’indice des moyennes arithmétiques des prix :

On calcule d’abord les nouvelles moyennes arithmétiques des prix P0 et Pt .

La moyenne arithmétique des indices des prix

D’où l’indice des moyennes :

l'indice des moyennes

On remarque que l’indice des moyennes a changé avec le changement des unités (140 ≠ 142,5).

Calculons maintenant la moyenne arithmétique des indices des prix de chacun des quatre produits.

Indice des prix de la viande (1 kg) : It/0 = 70 / 50 × 100 = 140

Indice des prix de l’huile (1m3) : It/0 = 9000 / 6000 × 100 = 150

Indice des prix du sucre (1 t) : It/0 = 5000 / 4000 × 100 = 130

Indice des prix du beurre (1 kg) : It/0 = 30 / 20 × 100 = 150

D’où la moyenne arithmétique des indices des prix est :

moyenne arithmétique des indices

On remarque que la moyenne arithmétique des indices des prix est insensible aux changements des unités.

En conclusion l’indice des moyennes n’est pratiquement jamais utilisé puisque l’utilisation d’unités différentes (multiples ou sous multiples des unités) conduit à un indice différent, ce qui est tout à fait illogique du point de vue économique.

Conséquence : Le mode de calcul le plus approprié est la moyenne arithmétique des indices.

3- Principaux types d’indices synthétiques

Les formules d’indices sont nombreuses, cependant dans la pratique, elles se réduisent à un petit nombre de types dont les principaux sont ceux de LASPEYRES, de PAASCHE et de FISHER qui portent essentiellement sur les prix et les quantités.

  • Les indices de LASPEYRES

Indice de LASPEYRES des valeurs globales

Indice de LASPEYRES des valeurs globales

On notera :

– Pi.o et Qi.o respectivement le prix et la quantité du ième produit à l’époque de référence 0.

– Pi.t et Qi.t respectivement le prix et la quantité du ième produit à l’époque d’observation t.

L’indice des prix de LASPEYRES

L'indice des prix de LASPEYRES.

On dit que le coefficient de pondération de l’indice des prix est : Pi.o × Qi.o.

Remarques :

1) Si Lp > 100 : soit a = Lp – 100, on dit que les prix ont augmenté de a % entre la période de référence 0 et la période d’observation t.

2) Si Lp < 100 : soit d = 100 – Lp, on dit que les prix ont diminué de d % entre la période de référence 0 et la période d’observation t.

L’indice des quantités de LASPEYRES

L'indice des quantités de LASPEYRES

On dit de même que le coefficient de pondération de l’indice des quantités est : Qi.o Pi.o
Remarque :

1) Si Lq > 100, soit a = Lq – 100, on dit que les quantités ont augmenté entre la période de référence 0 et la période d’observation t.

2) Si Lq < 100, soit d = 100 – Lq, on dit que les quantités ont diminué de d % entre la période de référence 0 et la période d’observation t.

  • Les indices de PAASCHE

Indice de PAASCHE des valeurs globales

Indice de PAASCHE des valeurs globales

Indice de PAASCHE des prix

Indice de PAASCHE des prix

Remarques :

1) Si Pp > 100, soit a = Pp – 100 ; on dit que les prix ont augmenté de a % entre l’époque de référence 0 et l’époque d’observation t.

2) Si Pp < 100, soit d = 100 – Pp ; on dit que les prix ont diminué de d % entre l’époque de référence 0 et la période d’observation t.

Indice de PAASCHE des quantités

L'indice des prix de LASPEYRES.

Remarque :

1) Si Pq > 100, soit a = Pq – 100 ; on dit que les quantités ont augmenté de a % entre l’époque de référence 0 et l’époque d’observation t.

2) Si Pq < 100, soit d = 100 – Pq ; on dit que les quantités ont diminué de d % entre l’époque de référence 0 et l’époque d’observation t.

  • Les indices de FISHER

L’indice de FISHER est la moyenne géométrique des deux indices de LASPEYRES et de PAASCHE. Il comprit entre

ces deux indices et vient pallier à leurs carences.

F = √(L × P)

Indice de FISHER des prix

Fp = √(Lp ×Pp)

Indice de FISHER des quantités

Fq = √(Lq × Pq)

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