Intérêts composés : vue d’ensemble

Dans un placement à intérêts composés, les intérêts s’ajoutent au capital en fin de période de capitalisation.

Voici ce que vous allez apprendre dans cet article :

Définition des intérêts composés

Un capital est placé à intérêts composés lorsque le montant des intérêts produits à la fin de chaque période de placement s’ajoute au capital placé pour devenir productif d’intérêts de la période suivante.

La valeur acquise Cn par le capital initial C0 au bout de n périodes de placement est égale à :

Cn = C0 (1 + i )ⁿ

avec t : taux d’intérêts sur une période

Remarque

L’intérêt composé est généralement appliqué lorsque la durée de placement dépasse un an.

Remarques:

• Le montant des intérêts acquis après n périodes est la différence entre la valeur acquise et le capital placé :

In = Cn – C0

• La période de capitalisation des intérêts peuvent être le mois, le trimestre, le semestre ou l’année.
• le montant des valeurs acquises C1, C2, C3, … Cn forment une suite géométrique de raison : (1 + t).
• Les intérêts composés sont surtout utilisés pour des placements à long terme (>1 an)

• Exemple 1:

Un capital de 5 000 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 4 % pendant 5 ans.

la valeur acquise de la cinquième année est :

C5 = C0 (1 + i )ⁿ

C5 = 5000  1,04⁵

C5 =  6083,26

• Exemple 2:

Quel capital faut-il placer pendant 5 ans au taux de 3,5 % l’an pour obtenir une valeur acquise de 5000 € ?

• Exemple 3

Un capital de 20 000 € placé en capitalisation trimestrielle pendant 5 trimestres a une valeur acquise de 21 465,68 € au terme du placement. Calculer le taux trimestriel de placement.

Co = 20 000 € ; C5 = 21 465,68 € ; n = 5 trimestres

Le taux trimestriel est de 1,4 %.

• Exemple 4

Un capital de 41 000 € placé à intérêts composés à capitalisation mensuelle au taux de 0,5 % le mois. Au terme du placement sa valeur acquise est 44 185 €. Calculer la durée du placement.

C0 = 41 000 € ; Cn = 44 185 € ; t = 0,5 % par mois.

La durée de placement est de 15 mois.

Taux proportionnel et taux équivalent

Les taux d’intérêt sont généralement exprimés en taux annuels. Mais, on peut considérer une période plus courte que l’année, par exemple, le semestre, le trimestre le mois ou le jour.

De même, les intérêts peuvent être capitalisés chaque semestre, chaque trimestre, chaque mois ou chaque jour.

Ainsi, lorsque le taux d’intérêt est annuel et l’on considère une période inférieure à l’année, le taux d’intérêt prévalant pour cette période devra être calculé. Pour ce faire, on emploie l’un des deux taux suivants:

le taux proportionnel ou le taux équivalent

Taux proportionnel

Deux taux correspondants à des périodes différentes sont dits proportionnels, lorsque leur rapport est égal au rapport de leurs périodes de capitalisation respectives.

i : taux annuel

p : le nombre de périodes dans l’année

ip : taux proportionnel par période

Taux équivalents

Deux taux, définit sur des périodes différentes, sont équivalents lorsque appliqués à un même capital pendant la même durée, produisent la même valeur acquise.

Les taux les plus utilisés :

Le même capital placé en capitalisation mensuelle au taux de 0,95 % le mois acquiert au bout d’un an, soit 12 mois, la valeur :

• Exemple

Un capital de 1 000 € placé au taux annuel de 12 % a une valeur acquise au bout d’un an de placement égale à :

C1 = C0 (1+t) = 1 000 × 1,12 soit C1 = 1120 €

Et au taux mensuel de 0,95 % a une valeur acquise au bout d’un an de placement égale à :

Les deux valeurs acquises sont égales. Le taux annuel de 12 % est équivalent au taux mensuel de 0,95 %.

Remarque:

Les taux proportionnels aux durées des périodes de placement ne sont pas équivalents pour le calcul des intérêts composés.

Ainsi les taux de 12 % l’an et 1 % le mois sont proportionnels. Ils ne sont pas équivalents en intérêts composés.

Actualisation et capitalisation

Définitions

• Capitalisation: la capitalisation est le calcul de la valeur future par rapport à la valeur présente d’un montant d’argent.
• Actualisation: L’actualisation est la mesure de la valeur actuelle d’une somme d’argent dans le futur.

Ainsi sur une flèche représentant le temps,

on illustre les deux formules :

• Exemple de capitalisation :

Je place 1000 Euros (V0) pendant 2 ans à un taux d’intérêt de 10%. Quelle est la capitalisation de mes 1000 Euros la première année (V1) et la deuxième année (V2) ?

A la fin de la première année j’aurais mon capital initial V0 de 1000 Euros plus les intérêt de 10%,

c’est à dire 0,1 x 1000 = 100 Euros

A la fin de la deuxième année j’aurais mes 1100 Euro plus les intérêts 0,1 x 1100 = 110 Euro c’est à dire 1210 Euros:

A= 1000*(1,1)² = 1210 euros

• Exemple d’actualisation :

Quel est le montant que je place aujourd’hui au taux de 12% pour avoir 2000 euros dans 3 ans ?

V0 = V3 / (1 + 12%)³ = 2000 / 1,123 = 1423,56 Euros

Valeurs acquise et actuelle d’un capital .

Définition de la valeur acquise :

La valeur acquise Vn par un capital Vo placé pendant n périodes à un taux i:

Vn = V0 (1 + i )ⁿ

Définition de la valeur actuelle :

La valeur actuelle Vo (actualisation) d’une valeur future Vn actualisée sur n périodes à un taux i:

V0 = Vn (1 + i )^-n

• Exemple :

Combien faudrait-il placer aujourd’hui, sur un livret de Caisse d’Epargne à 4% par an, pour disposer de 100 000 euros dans 8 ans ?

V0 = 100 000 (1,04 )^-8

= 73 068,02

• Exercices d’application :

1. Combien j’aurais à la fin de la troisième année d’un placement de 2000 Euros à un taux mensuel de 2% ?

Dans cette exemple, tous les éléments de la formule Cn = C0  (1 + i )ⁿ  sont identifiés, à savoir :

Le taux d’intérêt mensuel i = 2% ;

Le capital prêté C0=2000 Euros ;

La durée du prêt n=3*12 = 36 mois.

Donc en appliquant simplement la formule, le produit du placement serait

C36 = 2000(1 + 2% )³⁶ = 4079,77 Euros

2. Dans le cadre du même exercice précédent, Je voudrais savoir à quelle date j’atteindrais 5000 Euros

En utilisant toujours la même formule, nous avons : 5000=2000(1+2%) n avec n le nombre de mois nécessaires pour qu’un prêt de 2000 Euros au taux mensuel de 2% produit 5000 Euros (capital initial + les intérêts).

En simplifiant la formule nous avons : 1,02ⁿ = 5/2.

Ln (1,02ⁿ ) = Ln(5/2) ce qui donne  n*Ln (1,02) = Ln(2,5)

Finalement nous obtenons une durée de :

n = Ln(2,5) / Ln(1,02) = 46,27 mois c’est à dire mois c’est à dire 46 mois plus mois plus 0,27 *30 = 8 jours

Equivalence de deux capitaux à intérêt composé

Deux capitaux sont équivalents, à intérêt composé, si à une date déterminée appelée date d’équivalence et escomptés au même taux donnent la même valeur actuelle.

• Exemple:

Soient deux capitaux C1 = 25 000euros payable dans 3 ans et C2 = 30 250 euros payable dans 5 ans.

Si le taux est de 10%, quelle est leur valeur actuelle à t = 0 choisi comme date d’équivalence.

A la date d’équivalence t = 0, on a: V1 = V2 Car :

On peut changer la date d’équivalence, les valeurs actuelles restent les mêmes.
Prenons t = 1, on a: V1 = V2 Car:

Equivalence d’un ensemble de capitaux

Par extension, on peut dire que deux groupes de capitaux sont équivalents si la somme des valeurs actuelles des capitaux du 1er groupe est égale à la somme des valeurs actuelles des capitaux du second groupe.

• Exemple:

Un débiteur qui doit s’acquitter des dettes suivantes :

24000 euros payable dans un 1an.

16000 euros payable dans 2 ans.

Obtient de son créancier de se libérer par un paiement unique dans 2 ans.

Quelle est la valeur de ce paiement unique si le taux d’intérêts composés est de 13% ?