Le marché du duopole : les modèles de Cournot, du Cartel et de Stackelberg

Le marché du duopole est un marché dans lequel deux entreprises vendent un bien homogène à une multitude de demandeurs. Le marché du duopole est présenté comme un marché de stratégies dans la mesure où la taille importante des deux entreprises leur offre la disposition d’une part importante du marché si bien que les décisions prises par chacun des producteurs affecteront nécessairement le profit réalisé par l’entreprise concurrente. De ce fait, les deux producteurs se trouvent interdépendants dans un marché de duopole.

Nous allons voir dans cet article comment s’établi l’équilibre du duopole dans les trois cas suivants : le cas de l’équilibre du duopole dans le cas de Cournot (coordination des producteurs), le cas où les deux producteurs adoptent une stratégie du Cartel, et dans le cas les producteurs adoptent le comportement de maîtrise ou de satellite.

Le duopole de Cournot

Présentation du modèle de Cournot

La présentation simple du modèle étudié par Augustin Cournot constitue le point de départ de l’analyse du marché du duopole.

Dans ce type de modèle, on part de l’hypothèse que chaque entreprise suppose qu’elle est, seule, capable d’adapter sa production à celle de l’entreprise concurrente. Autrement dit, chaque producteur cherche à maximiser son profit, en supposant que le concurrent ne change pas sa production, et en adaptant en conséquence sa propre production à celle de l’entreprise concurrente.

Cependant, si chaque duopoleur suppose qu’il est le seul à avoir une capacité d’adaptation, en réalité, les deux entreprises réagiront chacune, aux décisions de l’autre.

Pour démontrer les conditions d’équilibre des deux concurrents en situation de duopole, considérons les données suivantes :

  • X1 et X2 sont les quantités produites par les entreprises 1 et 2.
  • La fonction de demande sur le marché est de la forme: P = f(X1+X2).

Dans ce cas, la recette totale de chaque entreprise dépend à la fois de sa propre production ainsi que de celle de son concurrent.

RT1 = X1 . f(X1+X2) et RT2 = X2 .f(X1+X2)

Si chaque entreprise dispose d’une fonction de coût spécifique:

CT1 = g(X1) et CT2 = h(X2)

Les profits des deux entreprises sont alors :

  • 1 = X1 . f(X1+X2) – g(X1)
  • 2 = X2 . f(X1+X2) – h(X2)

Croyant que le concurrent est sans réaction, chaque duopoleur maximise son profit d’après son propre niveau de production. Les conditions de maximum sont:

Le marché du duopole : les modèles de Cournot, du Cartel et de Stackelberg

Chaque duopoleur maximise donc son profit en égalisant sa recette marginale et son coût marginal. Le duopole est en équilibre si aucune entreprise ne cherche à modifier son équilibre. Pour exprimer cette situation, on tire à partir des relations [1] et [2] deux fonctions implicites appelées «fonctions de réaction» qui s’expriment de la façon suivante:

Le marché du duopole : les modèles de Cournot, du Cartel et de Stackelberg

La fonction de réaction de l’entreprise 1 donne pour toutes les valeurs de X1, la valeur de X2 qui maximise le profit.

La fonction de réaction de l’entreprise 2 donne pour toutes les valeurs de X1, la valeur de X2 qui maximise également le profit.

Exercice corrigé sur le modèle de Cournot

Le marché d’un bien comporte deux vendeurs confrontés à une multitude d’acheteurs, dont la demande est : XD= -P + 100. Les deux entreprises ont les fonctions de coût suivantes :

CT1 = 2.X²1 + 20 et CT2 = 3.X²2 + 10

Question 1: Déterminer le prix du marché, les quantités produites et le profit des entreprises lorsque celles-ci se comportent comme si elles étaient en situation de concurrence pure et parfaite.

Question 2: Même question si on suppose que chaque entreprise prend sa décision en considérant la production de l’autre comme donnée. Déterminer les équations des courbes de réactions de ces deux entreprises, le prix du marché et les profits respectifs.

Solution

Question 1: Une entreprise produisant un bien en situation concurrentielle fixe son niveau de production de telle sorte que le coût marginal (Cm) soit égal à la recette marginale (Rm). Soit, donc, pour les deux producteurs. Le prix représente aussi la marginale dans un marché de concurrence pure et parfaite (car le prix et constant quel que soit la quantité vendue par le producteur)

Le marché du duopole : les modèles de Cournot, du Cartel et de Stackelberg

L’offre globale sur le marché est :

XO = X1 + X2

XO = (10 / 24).P

Le prix du marché est déduit de l’égalité : XO = XD

(10/24).P = – P + 100

P = 70,6

Les quantités produites et les profits respectifs sont :

Le marché du duopole : les modèles de Cournot, du Cartel et de Stackelberg

Question 2 : La fonction de demande est donnée par :

X = -P + 100

P = -X + 100

Puisque X=X1 + X2 , on peut écrire: P = -(X1 + X2) + 100

Par conséquent, on peut établir pour l’entreprise 1 :

RT1 = P.X1 = [-( X1 + X2 ) + 100 ].X1

CT1 = 2.X²1 + 20

Le marché du duopole : les modèles de Cournot, du Cartel et de Stackelberg

C’est la courbe de réaction de l’entreprise 1.

On peut établir le même raisonnement pour l’entreprise 2:

Le marché du duopole : les modèles de Cournot, du Cartel et de Stackelberg

C’est la courbe de réaction de l’entreprise 2.

On peut reformuler les deux courbes de réaction de la manière suivante :

6.X1 – 100 +X2 =0 ⇨ 48.X1 – 800 + 8.X2 = 0 (1)

8.X2 – 100 + X1 = 0 (2)

En faisant (1)-(2), on trouve: 47.X1 = 700 ⇨ X1 = 14,9

En remplaçant dans la fonction de réaction de l’entreprise 2, on a : X2 = 10,6

Le prix du marché ainsi que les profits respectifs se dégagent facilement :

P = -(X1 + X2 )+100 = -(14,9+10,6)+100 ⇨ P = 74,5

π1 = RT1 – CT1 ⇨ π1 = 646 et π2 = RT2 – CT2 ⇨ π2 = 443

En comparant ces résultats avec ceux obtenus à la question précédente on peut remarquer que le passage de la situation concurrentielle à la situation de duopole profite aux deux entreprises au détriment évidemment des consommateurs.

D’autre exercice corrigé sur le modèle Cartel en PDF à télécharger ici

Le marché du duopole : les modèles du Cartel et de Stackelberg

Le duopole du cartel

Dans ce cas, les deux entreprises acceptent d’adopter une politique commune de maximisation des profits. Autrement dit, elles vont tenter de maximiser le profit comme si le marché se transforme en monopole. On définit ainsi la fonction de profit global comme suit :

π = π1 + π2 = F(X1 X2).(X1 + X2) – G(X1) – H(X2)

Avec :

F(X1+X2).(X1 + X2 ) représente la Recette totale des deux entreprises

G(X1) représente la fonction de Coût Total de l’entreprise 1

H(X2 ) représente la fonction de Coût Total de l’entreprise 2

Les conditions de maximum pour les deux entreprises sont:

Le marché du duopole : les modèles de Cournot, du Cartel et de Stackelberg

À partir de ces deux conditions de maximum, on tire deux équations à deux inconnues X1 et X2 qui donnent à la fois les quantités et le prix d’équilibre. C’est-à-dire la situation dans laquelle aucun producteur ne cherche à modifier son équilibre. On remarque dans ce cas (c’est-à-dire lorsque les duopoleurs sont en paix et forment un cartel) que les deux entreprises réalisent en commun un profit supérieur à celui qu’ils obtiendraient en l’absence de stratégie d’entente.

Néanmoins, il est extrêmement important de préciser que dans le cas du cartel, chaque entreprise recevra une part du profit global
négociée à l’avance. La part de chacun des deux producteurs sera donc fonction des rapports de puissance entre les deux entreprises. Autrement dit, la répartition du profit global du duopole ne dépend pas directement des structures des coûts des entreprises.

Le duopole de Stackelberg

Dans ce type de modèle, on distingue deux types de comportements: le comportement de l’entreprise en situation de maîtrise (entreprise dominante), et celui de l’entreprise en situation de satellite (entreprise dominée).

Dans ce cas, l’entreprise dominée considère sa fonction de réaction et cherche à adapter son niveau de production pour maximiser le profit. Autrement dit, l’entreprise dominée adapte sa production en fonction de la production de l’entreprise dominante.. Par contre, l’entreprise dominante ne tient pas compte de sa fonction de réaction, c’est-à-dire qu’elle fixe sa production indépendamment de celle de l’entreprise dominée.

Bref, si on suppose que l’entreprise 1 est en situation de maîtrise, alors elle suppose que l’entreprise 2 obéit à sa fonction de réaction ( X2 = Ψ(X1) ) et elle l’intègre, par conséquent, dans sa fonction de profit.

On a alors: π1 = P( X1 ,Ψ( X1 ))

La fonction de profit de l’entreprise1 ne contient qu’une seule variable et peut donc être maximisée par rapport à X1. L’entreprise 2 adaptera ensuite sa production en fonction de celle de l’entreprise 1.

Dans la situation de domination, l’entreprise en situation de maîtrise réalise un profit plus élevé par rapport à la situation de Cournot. En revanche, l’entreprise adoptant une position de satellite réalise un profit moins important.

Le modèle de Stackelberg montre donc que la position de l’entreprise en situation de maîtrise est plus avantageuse que celle de l’entreprise dominée. On peut s’interroger sur ce que deviendrait le modèle lorsque les deux duopoleurs adoptent un comportement de domination, c’est-à-dire, si chacun fixe son offre d’une façon totalement indépendante et si aucun producteur n’accepte la situation de satellite. La conséquence d’une telle attitude se traduit par une offre plus importante que celle qui aurait été calculée séparément par les deux entreprises (chaque firme faisant en effet l’erreur de supposer que l’autre est en situation de satellite).

Par conséquent, l’excès d’offre sur le marché se traduit par une baisse des prix et des profits des deux entreprises. C’est alors que ces dernières s’engagent dans une guerre «ouverte». Elles cherchent, chacune, à varier sa production pour augmenter son profit, et faire disparaître l’entreprise rivale du marché. Il en résulte ainsi une situation instable à l’issu de laquelle:

Ou bien une entreprise sera éliminée du marché, l’entreprise rivale se trouverait alors en situation de monopole.

Ou bien les deux entreprises, lassées de la «guerre» choisissent la solution de la collusion en formant par exemple un cartel..
Enfin, pour formaliser le modèle de domination, considérons que l’entreprise 1 est en situation de
satellite, alors que l’entreprise 2 est en situation de maîtrise. Par ailleurs, on a :

P = f(X1 + X2) est la fonction de demande sur le marché.

CT2 = h(X2) est la fonction de coût total de l’entreprise 2 (entreprise dominante).

X1 = P(X2) est la fonction de réaction de l’entreprise 1 (entreprise dominée).

La fonction de profit de l’entreprise dominante 2 s’écrit:

π2 = RT2 – CT2 = X2 .f( X1 + X2 ) – h( X2 )

En remplaçant X1 par son expression en termes de X2 (fonction de réaction de l’entreprise 1), alors la fonction de profit π2 sera exprimée uniquement en fonction de X2. Il suffit alors d’appliquer les conditions de maximisation pour déterminer la quantité X2.

La quantité X1 est alors déduite grâce à la fonction de réaction de l’entreprise 1. Enfin, le prix d’équilibre est déduit en utilisant la relation de la demande. Ce qui permet de déduire finalement les profits respectifs des deux entreprises.

Exercice corrigé sur les modèles du Cartel et de Stackelberg

Soit un duopole sans différenciation des produits. La fonction de demande s’adressant à la branche est la suivante :

P = -2.( X1 + X2 ) + 24

X1 est la quantité du bien X produite par l’entreprise 1.

X2 est la quantité du bien X produite par l’entreprise 2.

Les fonctions de coût total de chaque entreprise sont respectivement:

CT1 = 4.X1 + 10 et CT2 = 2 X²2 + 5 .

Question 1: Dans un premier temps, chaque duopoleur est supposé maximiser son profit avec l’hypothèse que la quantité produite par son concurrent n’est pas modifiée par sa propre décision de production. Déterminer les quantités produites à l’équilibre, le prix et les profits respectifs.

Question 2: Supposons que l’entreprise 1 adopte le comportement de « maîtrise » alors que l’entreprise 2 adopte le comportement de « satellite ». Quelle est la solution d’équilibre dans ce cas.

Question 3: Idem si l’entreprise 2 est, cette fois-ci, dominante, et l’entreprise 1 est dominée.

Question 4: Les duopoleurs s’entendent pour maximiser le profit total. Quel va être, dans cette hypothèse, la solution d’équilibre.

Solution

Question 1:

On pose pour l’entreprise 1 :

Le marché du duopole : les modèles de Cournot, du Cartel et de Stackelberg

De même, on peut poser pour l’entreprise 2 :

Le marché du duopole : les modèles de Cournot, du Cartel et de Stackelberg

On peut reformuler les relations (1) et (2) comme suit :

X1 + 0,5.X2 – 5 = 0 (3)

0,5.X2 + 1/6.X2 – 2 = 0 (4)

En faisant (3)-(4) , on a : X1 = 3,6

Et en remplaçant dans (2): X2 = 2,8

Le prix : P = -2.(X1+X2)+ 24 ⇨ P = 11,2

Les profits sont :

π1 = [(11,2).(3,6)]-[4.(3,6)+10]

π1 = 15,92

π2 = [(11,2).(2,8)] – [(2,8) + 5]

π2 = 18,52

Question 2 :

L’entreprise 1, en situation de « maîtrise » maximise son profit :

Le marché du duopole : les modèles du cartel et de Stackelberg

π1 = RT1 – CT1 = [(-2.X1 – 2.X2 + 24 ).X1 ] – 4.X1 – 10

π1 = -2.X²1 – 2.X1.X2 + 20.X1 – 10

L’entreprise 2, en situation de satellite, adapte sa production à celle de l’entreprise 1. La fonction de réaction de cette dernière est donc prise en compte dans la fonction de profit de l’entreprise dominante.

Soit donc :

Le prix est : P = -2.(X1 + X2 ) + 24 ⇨ P = 10

Le marché du duopole : les modèles de Cournot, du Cartel et de Stackelberg

Les profits respectifs se dégagent ainsi :

π1 =[ (10).(4,5) ] – [ 4.(4,5) + 10 ] ⇨ π1 = 17

π2 = [(10).(2,5)] – [(2,5) + 5] ⇨ π2 = 13,75

Question 3 :

L’entreprise 2 en situation de « maîtrise » maximise son profit:

π2 = RT2 – CT2 = [(-2.X1 – 2.X2 + 24 ).X2 ] – [ X²2 + 5 ]

π2 = -2.X1.X2 – 3.X²2 + 24.X2 – 5

En remplaçant X1 par son expression dans la fonction de réaction de l’entreprise 1, il ressort :

Le marché du duopole : les modèles de Cournot, du Cartel et de Stackelberg

Question 4 :

Les deux entreprises se mettent d’accord pour maximiser le profit total du groupe défini par :

πG = RT1 + RT2 – CT1 – CT2

Puisque: RT1 + RT2 = P.(X1 + X2), on peut donc écrire:

Le marché du duopole : les modèles de Cournot, du Cartel et de Stackelberg

En faisant (1)-(2) , on trouve : X = 2

Et, en remplaçant soit dans (1), soit dans (2) on a : X = 3

Le prix est: P = -2( X1+X2) + 24 P = 14

Le profit global du groupe est alors :πG =[(14)(2+3)]-[4.(3)+ 10]-[(2)2+5] ⇨ πG= 39

On ne peut pas se prononcer sur le partage du profit global du groupe entre les deux entreprises 1 et 2.

Ce partage dépend en effet des rapports de forces entre les deux firmes. L’entreprise qui arrive à se placer sur le marché comme maître (c’est-à-dire l’entreprise qui arrive à jouer le rôle du chef) impose un partage du profit entre toutes les entreprises qui composent la branche. Ce sont donc là à la fois l’élément conflictuel et l’élément rapports de forces qui apparaissent, et qui font le rapprochement de la théorie du duopole et de l’oligopole avec la théorie des jeux de stratégie.

Article précédentécarts de conversion : cours et exercice corrigé
Article suivantLes sorties d’immobilisations : principes, calculs et comptabilisation

LAISSER UN COMMENTAIRE

S'il vous plaît entrez votre commentaire!
S'il vous plaît entrez votre nom ici