Les annuités : cours et exercices corrigés

Le calcul sur les annuités est un préalable indispensable aux calculs sur les emprunts et les investissements.

Voici ce que vous allez apprendre dans cet article :

Définition des annuités

On appelle annuités une suite de flux monétaires perçus ou réglés à intervalles de temps égaux.

Le terme « annuité » est habituellement réservé à des périodicités annuelles. Lorsque la période est différente de l’année, il est préférable de remplacer le terme « annuité » par « semestrialité », « trimestrialité » ou « mensualité ».

• L’étude des annuités consiste à déterminer la valeur actuelle ou la valeur acquise, à une date donnée, d’une suite de flux. Elle prend en considération la date du premier flux, la périodicité des flux, le nombre des flux et le montant de chaque flux.
• Lorsque les annuités sont égales, on parle d’annuités constantes, alors que lorsque leur montant varie d’une période à une autre, on parle d’annuités variables.

Remarques :

• Les annuités peuvent être perçues ou versées en début de période ou en fin de période.
• Les annuités sont certaines si la période est constante, c’est-à-dire si le temps qui sépare deux versements est toujours le même et dans le cas contraire, la suite d’annuités est aléatoire.

Les annuités de fin de période

La valeur acquise (Vn)

On appelle valeur acquise (Vn) par une suite d’annuités constantes de fin de période, la somme des annuités exprimée immédiatement après le versement de la dernière annuité.

Si on note par:

Vn : la valeur acquise par la suite des annuités

a : l’annuité constante de fin de période

n : le nombre de périodes (d’annuités)

i : le taux d’intérêt par période de capitalisation

On a alors:

Il s’agit d’une suite géométrique de premier terme

1, de raison géométrique q = (1+i) et comprenant n termes. La formule devient donc:

Valeur actuelle

On appelle valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de fin de période, la somme des annuités actualisées (V0) exprimée à la date origine.

Remarque:

On rappelle que la valeur actuelle d’une somme Ak est la somme placée qui, après intérêt, produit Ak. Si on note par:

V0 = la valeur actuelle par la suite des annuités

a = l’annuité constante de fin de période

n = le nombre de périodes (d’annuités)

i = le taux d’intérêt par période de capitalisation

Alors:

On a donc une suite géométrique de premier terme 1, de raison géométrique q = (1+i)^(-1) et comprenant n termes. La formule devient :

Exemple

Quelle est la valeur actuelle au taux d’actualisation de 6% d’une suite d’annuité constante de 1500 euros versées à la fin de chaque année pendant 7 ans ?

Solution

La valeur actuelle de cette suite d’annuités constantes est donc :

• Exercice d’application 1

Combien je dois prêter au taux mensuel de 3% pour me faire rembourser 230 Euros pour les trois mois suivants (remboursement en fin de période) ?

Il s’agit simplement de calculer la valeur actuelle de ces trois sommes d’argent à recevoir :

La valeur actuelle (VA) qui représente dans ce cas le montant à emprunter pour avoir trois remboursements mensuels de 230 Euro se calcule de la façon suivante :

VA = 230(1+3%)-¹ + 230(1+3%)-² + 230(1+3%)-³ = 650,58 Euro

• Exercice d’application 2

Quel montant faut-il placer chaque année au taux 6%, et ce pendant 20 ans, pour pouvoir obtenir à l’échéance 100 000 € ?

Solution:

• Exercice d’application 3

De combien doit-on disposer aujourd’hui si l’on désire retirer 1000 € chaque année pendant quatre ans sachant que le taux de placement est de 5,5 % ?

Solution:

On a :

a=1000
n=4
i=0,055 D’ou VA= 3505,15 euros

exercices corrigés sur les annuités de fin de période

Exercice 1 :

Quelle sera la valeur totale d’une série de versements de 500 € par mois, versés en fin de période pendant 8 ans au taux de 5,15% par an ?

Avec les mêmes données que l’exemple précédent (taux et durée), combien aurait-il fallu verser mensuellement pour obtenir un capital de 100.000 € au terme des 8 années?

Le calcul est direct (nous connaissons déjà le taux mensuel équivalent).

Exercice 2:

Une assurance vie propose deux formules en cas de décès :

Versement d’un capital unique de 500.000 €

Versement d’une rente annuelle de 50.000 € pendant 12 ans

En considérant un indice du coût de la vie de 2 % par an, laquelle des deux formules est la plus intéressante ?

Il faut calculer la valeur actuelle des 12 versements annuels de 50.000 €. en appliquant la formule d’actualisation des annuités constantes :

Il est donc beaucoup plus intéressant de choisir la rente annuelle pendant 12 ans .

Exercice 3 :

Un ami vous demande de lui prêter 10.000 €, qu’il se propose de vous rembourser en 12 mensualités. Quel montant de mensualité devez-vous lui demander pour vous assurer un taux de 5 % ?

Calcul du taux mensuel équivalent :

Exercice 4 :

Exercice 5:

La valeur acquise par n annuités de 3500 euros capitalisées au taux de 10% est de 350 000 euros.

Combien y a t-il d’annuités (arrondir a l’entier le plus proche) ?

Annuités constantes en début de période

La valeur acquise

Si on considère que les flux sont versés en début de période, on obtient le graphique suivant:

On a donc une suite géométrique de premier terme 1, de raison géométrique q = (1+i) et comprenant n termes. La formule devient donc:

La valeur actuelle

On a donc une suite géométrique de premier terme 1, de raison géométrique q = (1+i)^(-1) et comprenant n termes. La formule devient :

exercices corrigés sur les annuités constantes en début de période

Exercice 1 :

En déposant un montant d’argent le premier de chaque mois du 1er janvier 2002 au 1er janvier 2003, on désire accumuler 1000$ au 1er janvier 2003. Si le taux mensuel est de 0,005,quelle doit être la valeur du montant d’argent déposé chaque mois?

Solution

Exercice 2 :
Quel montant doit-on verser le premier janvier de chaque année et pendant 8 ans pour rembourser un emprunt de 90 000 DH avec un taux de 7% ?

Application directe de la formule:

Les annuités quelconques

Les annuités quelconques de fin de période

La valeur acquise

Si on note par:

Vn = la valeur acquise par la suite des annuités.

ap = l’annuité à la date p.

n = le nombre de périodes (d’annuités)

i = le taux d’intérêt.

Alors:

La valeur actuelle

Les annuités quelconques de début de période

La valeur acquise

La valeur actuelle

Les annuités en progression arithmétique

Les annuités de fin de période en progression arithmétique

La valeur acquise

Soit une progression arithmétique d’annuités de raison r représentée par le graphique suivant:

La valeur actuelle

La valeur actuelle est donnée par:

Exercices corrigés sur les annuités en progression arithmétique

Exercice 1:

Calculer la valeur acquise d’une suite d’annuités de fin de période, en progression arithmétique dont les caractéristiques sont les suivantes:
a = 1 000 euros
n = 5ans
i = 5%
r = 100 euros

Exercice 2:

Calculer la valeur actuelle d’une suite arithmétique de 20 annuités dont le premier terme est de 1000€ et de raison 100€ dont le taux est de 10%.

Les annuités en progression géométrique

Les annuités de fin de période en progression géométrique

a) La valeur acquise

Soit une progression géométrique d’annuités de fin de période de raison q représentée par le graphique suivant:

La valeur acquise est donnée par :

La valeur actuelle

On sait que :

Annuités en progression géométrique versées en début de périodes

La valeur acquise

La valeur acquise des annuités est, par définition :

On met en facteur commun V0(1+t) n
, on trouve alors:

Remarquons que l’expression entre crochets est égale à :

puisqu’il s’agit d’une progression géométrique de raison q(1+t)-¹ :

La valeur actuelle

La valeur actuelle des annuités est, par définition :

On met en facteur commun V0, on trouve alors:

Remarquons que l’expression entre crochets est égale à :

puisqu’il s’agit d’une progression géométrique de raison q(1+t)-¹ :

Exercices corrigés sur les annuités en progression géométrique

Exercice 1 :

Said place à la fin de chaque mois et pendant 18 mois des versements mensuels en progression géométrique de raison 1,5. Le premier versement est de 100 DH.

Tous les versements portent intérêts composés au taux de 6% l’an. Quelle est la valeur actuelle de cette suite de versements ?

Il nous faudra calculer le taux d’intérêt pour la période considérée, à savoir le mois. Quel est le taux d’intérêt mensuel tm équivalent au taux d’intérêt annuel ta de 6% ?

Exercice 2

Ali place au début de chaque mois et pendant 18 mois des versements mensuels en progression géométrique de raison 1,5. Le premier versement est de 100 DH. Tous les versements portent intérêts composés au taux de 6% l’an.

Quelle est la valeur actuelle de cette suite de versements ?

Il nous faudra calculer le taux d’intérêt pour la période considérée, à savoir le mois. Quel est le taux d’intérêt mensuel tm équivalent au taux d’intérêt annuel ta de 6% ?

Exercice 3 :

Said place à la fin de chaque mois et pendant 18 mois des versements mensuels en progression géométrique de raison 1,5. Le premier versement est de 100 DH. Tous les versements portent intérêts composés au taux de 6% l’an.

Quelle est la valeur acquise de cette suite de versements ?

Il nous faudra calculer le taux d’intérêt pour la période considérée, à savoir le mois. Quel est le taux d’intérêt mensuel tm équivalent au taux d’intérêt annuel ta de 6% ?

Nous avons d’après l’expression de la valeur acquise d’annuités en progression géométrique versées en fin de périodes :

Exercice 4 :

Ali place au début de chaque mois et pendant 18 mois des versements mensuels en progression géométrique de raison 1,5. Le premier versement est de 100 DH. Tous les versements portent intérêts composés au taux de 6% l’an.

Quelle est la valeur acquise de cette suite de versements ?

Il nous faudra calculer le taux d’intérêt pour la période considérée, à savoir le mois. Quel est le taux d’intérêt mensuel tm équivalent au taux d’intérêt annuel ta de 6% ?