Loi binomiale – cours avec exemples applicatifs

Le but des lois théoriques est la description des phénomènes statistiques dont le but de calculer la probabilité de certains événements et donc d’avoir une certaine représentation de l’avenir.

Nous étudierons au cours de cet article la loi binomiale.

Définition de la loi binomiale

La loi binomiale intervient dans le cas de plusieurs expériences aléatoires identiques et indépendantes aux quelles on associe un événement aléatoire quelconque.

La réalisation de l’événement au cours de chacune des expériences est appelée succès et la probabilité de réalisation est dite probabilité de succès, désignée par p. Par contre la non-réalisation de l’événement est appelée échec et la probabilité de non-réalisation est dite probabilité d’échec, désignée par q.

q = 1 – p

Les probabilités p et q restent constantes au cours d’une suite d’expériences aléatoires. C’est le cas des prélèvements d’individus au hasard dans une population infinie ou le prélèvement d’individus dans une population finie, lorsque les individus sont remis en place au fur et à mesure des prélèvements.

La variable aléatoire X qui caractérise le nombre de succès au cours de n expériences aléatoires indépendantes est appelée variable binomiale, elle prend les valeurs entières de 0 à n.

La probabilité d’obtenir x succès et donc (n-x) échecs au cours de n expériences aléatoires indépendantes est, pour x = 0, 1, …, n :

Loi binomiale statistique

La loi binomiale dépend de deux paramètres :

  • n = nombre d’expériences aléatoires indépendantes ;
  • p = probabilité de succès au cours de chacune des n expériences aléatoires, p doit rester constante.

Une variable aléatoire X qui sui une loi binomiale de paramètres n et p, est désignée par :

X = B(n , p)

Caractéristiques d’une variable binomiale

La variable Bernoulli est un cas particulier de la loi binomiale, elle correspond à la loi binomiale de paramètres 1 et p.

Une variable binomiale de paramètres n et p, peut être considérée comme étant la somme de n variables de Bernoulli identiques et indépendantes de même paramètre p.

X = B(n , p)

X = X1 + X2 + … + Xn

Avec Xi (i=1 à n) est une variable Bernoulli tel que :

E(Xi) = p et V(Xi) = pq

  • Espérance mathématique

En appliquant la propriété de l’espérance d’une somme on peut écrire :

E(X) = E(X1 + X2 + … + Xn)

E(X) = E(X1) + E(X2) + … + E(Xn)

E(X) = p + p + … + p

E(X) = np

  • Variance et écart-type

En appliquant la propriété de la variance d’une somme de variables aléatoires indépendantes on peut écrire :

V(X) = V(X1 + X2 + … + Xn)

V(X) = V(X1) + V(X2) + … + V(Xn)

V(X) = pq + pq + … + pq

V(X) = npq

Ecart type : ∂ = √npq

Exemple :

Dans un lot important de pièces, dont 10 % sont défectueuses, on prélève un échantillon de 20 pièces. Quelle est la probabilité d’obtenir plus de deux pièces défectueuses ?

On définit la variable aléatoire X comme étant le nombre de pièces défectueuses qu’on peut obtenir dans l’échantillon. La variable X peut prendre les valeurs entières de 0 à 20.

La population des pièces peut être considérée comme une population pratiquement infinie. La probabilité de succès, c’est à dire la probabilité qu’une pièce choisie soit défectueuse, est constante et égale à 0,1. La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale de paramètre 20 et 0,1.

X = B(20 ; 0,1)

La probabilité d’avoir plus de deux pièces défectueuses dans l’échantillon est :

loi binomiale formule
  • L’espérance mathématique :

E(X) = np = 20 × 0,1 = 2 pièces défectueuses.

Dans un échantillon de 20 pièces, on peut s’attendre à avoir deux pièces défectueuses.
La variance :

V(X) = npq = 20 × 0,1 × 0,9 = 1,8

Propriétés

  • Additivité

La somme de deux ou plusieurs variables binomiales indépendantes de même paramètres p est elle-même une variable binomiale.

X1 = B(n1 , p) X2 = B(n2 , p) … Xk = B(nk , p)

X1 + X2 + … + Xk = B(n1 + n2 + … + nk , p)

  • Formule de récurrence

En effectuant le rapport de deux probabilités successives, on obtient :

Formule de récurrence loi binomiale

Les distributions binomiales sont symétriques lorsque p = q = 1/2, la dissymétrie est d’autant plus grande que p et q sont plus différents de 1/2.

Exemple :

Distribution de la variable B(4 , 1/2)

xp(x)
0
1
2
3
4
0,0625
0,2500
0,3750
0,2500
0,0625
Total1
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