La série chronologique statistique : cours avec exemples

L’objet de cet article est de vous présenter la série chronologique. Pour ce faire, on va donc traiter dans un premier point sa définition, puis on va traiter ses composantes ainsi que son analyse.

Voici ce que vous allez apprendre dans cet article :

Définition d’une série chronologique

Une série chronologique ou chronique est une suite d’observations d’une variable statistique ayant été faites à intervalles de temps constants (jours, semaines, mois, trimestres, semestres, années …).

Mathématiquement on peut définir une série chronologique comme un ensemble de valeurs prises par une fonction y =f(t) .

Exemples :

– Le volume du commerce extérieur d’un pays évalué mois par mois pendant une décennie.

– Le nombre de voyageurs transportés mensuellement par un organisme de transport ( CTM…).

– Les ventes bimestrielles en quantité d’une entreprise.

Les composantes d’une série chronologique

La succession des observations d’un phénomène économique au cours du temps résulte traditionnellement de la superposition de quatre composantes ou mouvements suivants :

1) Une composante T de longue durée (quelques années) que l’on appelle la tendance ou Trend qui traduit l’allure d’ensemble du phénomène. C’est le plus souvent une fonction régulière (affine par exemple).

2) Une composante S de courte durée correspondant aux fluctuations annuelles que l’on appelle composante saisonnière (fermeture de l’usine l’été, conditions météorologiques (ski)…).

3) Une composante C intermédiaire entre les deux précédentes que l’on appelle composante cyclique (intervalle de prospérité, intervalle de récession …).

4) Une composante A accidentelle souvent imprévisible dite aléatoire (pannes, séismes, guerres, sécheresse …).

Remarque : Il y a deux manières de combiner ces quatre composantes :

a) Selon un modèle additif.

Y = T + C + S + A.

On utilise ce modèle lorsque la dispersion (écart type) des valeurs de la variable t ne varie que très peu d’une année à l’autre.

On pense en effet que les variations successives sont constantes.

b) Selon un modèle multiplicatif

On utilise ce modèle lorsque la dispersion suit la tendance. Les variations successives sont constantes en pourcentage.

Analyse d’une série chronologique

Généralités

L’analyse d’une série chronologique nécessite des instruments spécifiques permettant de corriger les variations saisonnières de l’effet perturbateur des fluctuations, c’est à dire la désaisonnaliser après sa représentation graphique .

Parmi les principales méthodes pour désaisonnaliser une série chronologique, la plus utilisée est celle dite des rapports à la tendance générale ou au trend.

Cette méthode est basée sur les étapes suivantes :

1) La première étape consiste à déterminer le Trend.

2) La deuxième étape consiste à faire le rapport de chacune des valeurs observées de la série initiale à la valeur calculée à partir du Trend à la même date.

3) La troisième étape consiste à synthétiser l’ensemble des coefficients en une seule série des coefficients saisonniers par calcul de la moyenne arithmétique ou la médiane des coefficients saisonniers qui s’utilisent pour éliminer les variations saisonnières de la série initiale.

L’analyse d’une série chronologique : Exemple d’application

Soit la série chronologique suivante représentant le nombre de voyageurs (en centaines de milliers) transportés mensuellement par une compagnie autonome de transport au cours de trois années consécutives.

Tableau des relevées :

    J   F  M  A  M   J   J  A   S   O  N  D
An 1    2    3  4    5    4    5     6    1    4    4   3  4
An 2    4    5  6    4    7    8     7    2    6    9  10 12
An 3    8  10 11  13  13  13   14    7  12  13  14 15

1) Construction de la courbe chronologique.

La représentation graphique de la courbe doit être faite sur du papier millimétré.

L’axe des abscisses est réservé au temps t (t: désigne le rang du mois considéré).

Dans cet exemple t varie de 1 pour le mois de janvier de l’an 1 à 36 pour le mois de décembre de l’an 3.

Sur l’axe des ordonnées on porte le nombre de voyageurs transportés correspondant à chaque mois. On obtient ainsi 36 points, que l’on joint par des segments de droite : c’est la courbe chronologique.

Sur cet exemple on va déterminer la tendance générale ou Trend puis mettre en évidence l’influence saisonnière en essayant de la mesurer puis l’éliminer.

2) Détermination du Trend

La représentation graphique de la série suggérant un Trend linéaire.

Le Trend peut être déterminé par plusieurs procédés. Cependant on se limitera à l’ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés.

On remplace les n points de la courbe chronologiques par une droite d’équation y = at + b dont la pente a est donnée comme suit :

Analyse d'une série chronologique

Cette droite passe par le point moyen :

Les composantes d'une série chronologique

Définition des séries chronologiques

On dresse alors un tableau de calcul contenant ti ; yi; ti²; tiyi comme suit:

       ti         yi          ti2     tiyi
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

2

3

4

5

4

5

6

1

4

4

3

4

4

5

6

4

7

8

7

2

6

9

10

12

8

10

11

13

13

13

14

7

12

13

14

15

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

400

441

484

529

576

625

676

729

784

841

900

961

1024

1089

1156

1225

1296

2

6

12

20

20

30

42

8

36

40

33

48

52

70

90

64

119

144

133

40

126

198

230

288

200

260

297

364

377

390

434

224

396

442

490

540

∑ ti = 666∑ yi = 268∑ ti² = 16206∑ yi ti = 6265

On rappelle les formules suivantes afin d’éviter de calculer chaque terme:

Les séries chronologiques

Donc la tendance générale (Trend) peut être traduite par la droite d’équation :

y = 0,336.t + 1,224

On trace alors cette droite sur le graphique de la courbe chronologique.

Cette droite est le Trend de la série chronologique (cf graphique).

3) Etude de l’influence saisonnière

a) L’objectif est de rechercher pour chacun des douze mois de l’année un coefficient saisonnier qui sera propre au mois en question.

Pour cela, on utilise la méthode des rapports au Trend.

On détermine d’abord les valeurs prises par le Trend y = 0,336 + 1,224 aux différents mois (t variant de 1 à 36).

Exemples :

Mois de rang 1 ; y = 0,336 × 1 + 1,224 = 1,56.

Mois de rang 2 ; y = 0,336 × 2 + 1,224 = 1,896 1,90

Mois de rang 3 ; y = 0,336 × 3 + 1,224 = 2,232 2,23 etc.

Les résultats trouvés sont consignés dans le tableau suivant :

    J   F  M  A  M   J   J  A   S   O  N  D
An 1 1,56 1,90  2,23  2,57  2,90  3,24  3,58  3,90  4,25  4,58  4,92 5,26
An 2 5,60 5,93  6,24  6,60  6,94  7,27  7,61  7,94  8,28  8,62  8,95 9,29
An 3 9,62 9,9610,310,6310,9711,3011,6411,9812,3112,6512,9813,32

b) Détermination des coefficients par la méthode des rapports au Trend.

Pour chacun des 36 mois de la série, on fait le rapport entre les valeurs des données de la série initiale et les valeurs

calculées à l’aide du Trend correspondantes.

Exemples

– Le mois de rang 1: c1 = 2 / 1,56 = 1,26

– Le mois de rang 2 : c2 = 3 / 1,9 = 1,58

– Le mois de rang 13 : c13= 4 / 5,60 = 0,71

– Le mois de rang 36 : c36 = 15 / 13,32 = 1,13

On obtient alors le tableau des coefficients relatifs à chaque mois de chaque année.

    J   F  M  A  M   J   J  A   S   O  N  D
An 1 1,28 1,58  1,79  1,94  1,38  1,54  1,68  0,26  0,94  0,72  0,61 0,76
An 2 0,71 0,84  0,96  0,60  1,00  1,10  0,92  0,25  0,72  1,04  1,11 1,29
An 3 0,83 1,00  1,07  1,22  1,18  1,15  1,20  0,58  0,97  1,03  1,08 1,27
total 2,82 3,42 3,82  3,76  3,56  3,79  3,80  2,75  2,63  2,79  2,80 3,32

Enfin on synthétise les coefficients obtenus en coefficients saisonniers par utilisation de la moyenne ou de la médiane des rapports de chaque mois.

Dans notre cas on va prendre la moyenne arithmétique simple des trois coefficients relatifs aux mêmes mois des trois années.

Exemple :

Pour le mois de janvier le coefficient saisonnier sera : Cs = ∑ c / 3 = 2,82 / 3 = 0,94

Pour le mois de février le coefficient saisonnier sera : Cs = 3,42 / 3 = 1,14

Pour le mois de décembre le coefficient saisonnier sera : Cs = 3,32 / 3 = 1,11

Les coefficients saisonniers sont résumés dans le tableau suivant :

    J   F  M  A  M   J   J  A   S   O  N  D
Cs  0,941,141,271,251,191,261,270,920,880,930,931,11

4) Elimination de l’influence saisonnière : Désaisonnalisation

L’élimination de l’influence saisonnière se fera par division des nombres du tableau initial par le coefficient saisonnier du mois correspondant.

Ainsi les 3 nombres des mois de janvier des trois ans seront divisés par le coefficient saisonnier calculé ci dessus propre à janvier qui est Cs = 0,94.

De même les 3 nombres des mois de février seront divisés par le coefficient saisonnier propre à février qui est Cs = 1,14 etc …

Les calculs ont conduit au tableau suivant :

    J   F  M  A  M   J   J  A   S   O  N  D
An 1  2,13  2,63  3,15  4,00  3,36  3,97  4,72  1,09  5,54  4,30  3,22  3,60
An 2  4,25  4,38  4,72  3,20  5,88  6,35  5,51  2,17  6,82  9,6810,7510,81
An 3  8,51  8,77  8,6610,4010,9210,3211,02  7,6013,6314,7715,0513,51

On obtient ainsi la série désaisonnalisée.

Dans la pratique on représente cette série graphiquement.

La courbe correspondante est une courbe dont les pics sont beaucoup moins aigus que dans le cas de la série initiale.

Essai de prévision à partir du Trend et des coefficients saisonniers

La prévision qui peut être faite est fondée :

– D’une part sur l’hypothèse que les années à venir connaîtront la même tendance générale que les trois années passées.

– D’autre part sur un calcul correct des coefficients saisonniers.

Supposons qu’on désire prévoir le nombre de voyageurs qui seront transportés pendant le mois de novembre de l’an 4, premier an à venir après les trois ans passés.

On utilise d’abord le Trend sous la forme : y = 0,336.t + 1,224

Le mois de novembre en question est de rang 47 à partir du premier mois de la série. En effet 36 + 11 = 47.

On fait t = 47 dans le Trend soit y = 0,336 × 47 + 1,224 = 17,02.

On affecte ce résultat du coefficient saisonnier propre au mois de novembre qui est 0,93. Donc 17,02 × 0,93 = 15,83.

On peut alors estimer qu’il sera transporté 15,83 centaines de milliers de voyageurs soit 15,83 × 100 000 = 1 583 000 voyageurs environ pendant le mois novembre de la 4ème année.

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