Les taux d’intérêt : Cours et QCM

Avec le développement des marchés financiers, les variations des taux d’intérêt affectent aujourd’hui, de façon immédiate et directe, les revenus des agents financiers et leurs comportements.

L’analyse et la compréhension de leurs déterminants sont de fait indispensables. Nous présentons ensuite les différentes modalités de calcul des intérêts, puis élargissons l’analyse aux rendements procurés par les titres financiers, et plus précisément par les obligations.

Il serait bon d’abord de s’entendre sur certains termes courants dans le domaine des affaires.

Notions du taux d’intérêt

Intérêt

L’intérêt est le loyer de l’argent. H peut être une dépense ou un revenu.

• Il s’agit d’une dépense pour l’emprunteur, l’intérêt correspond à la rémunération du capital prêté.
• Il s’agit d’un revenu pour le prêteur, l’intérêt est le revenu tiré du capital prêté.

Taux d’intérêt

On appelle, taux d’intérêt annuel, l’intérêt produit par un capital de 1 Franc suisse placé pendant 1 an. Si après avoir placé 1 Franc suisse pendant un an, on récupère 1,13 Franc suisse, alors, on dit, habituellement, que le taux d’intérêt ou encore le taux de placement annuel est de 0,13 ou encore 13%.

Variation de l’intérêt

L’intérêt est variable selon les circonstances, il tient notamment compte :

• de la loi de l’offre et de la demande : s’il y a beaucoup d’offres et peu de demandes de capitaux, l’intérêt tendra à baisser. S’il y a beaucoup de demandes de capitaux et peu d’offres, l’intérêt tendra à s’élever.
• du montant du prêt, de la durée et du taux d’intérêt.
• du degré de confiance que les prêteurs accordent aux emprunteurs, plus on a de garanties plus on a de chances d’obtenir des prêts à moindres coûts.
• de l’inflation : l’inflation fait augmenter le taux d’intérêt et par conséquent le montant global de l’intérêt, parce que les épargnants et les prêteurs exigent des taux d’intérêt leur permettant de compenser la perte de leur pouvoir d’achat et d’assurer un rendement réel.

Les déterminants du taux d’intérêt

Au niveau macroéconomique, on admet généralement que le taux d’intérêt constaté sur un marché, ou taux d’intérêt nominal, dépend du taux d’intérêt réel, reflet des caractéristiques structurelles de l’économie, et de l’inflation anticipée, qui mesure la perte probable de pouvoir d’achat.

Les déterminants du taux d’intérêt réel

On oppose généralement les théories d’inspiration classique, qui insistent sur l’interprétation réelle de la détermination du taux d’intérêt, et les théories d’inspiration keynésienne pour lesquelles le taux d’intérêt a une nature monétaire. La théorie des fonds prêtables tente d’effectuer une synthèse de ces deux théories en apparence opposées.

• L’interprétation réelle du taux d’intérêt dans l’analyse classique

Dans l’analyse classique, le taux d’intérêt est déterminé par la confrontation de la demande d’emprunt et de l’offre d’épargne des agents non financiers. Pour les ménages épargnants, le taux d’intérêt représente le prix de la renonciation à la consommation présente et détermine l’affectation du revenu entre consommation et épargne.

Le besoin d’emprunt est, pour sa part, déterminé par le besoin d’investissement. Les entreprises comparent la productivité marginale de leur investissement au coût de leur emprunt.

Knut Wicksell (1898) est le précurseur de cette analyse. Les entreprises comparent, selon cet auteur, le taux d’intérêt naturel, qui est le taux de rendement marginal du capital, et le taux d’intérêt monétaire. Ce dernier résulte de la confrontation de l’offre de fonds (des ménages et des banques) et de la demande de fonds par les entreprises.

Le taux monétaire détermine le coût de l’emprunt pour les entreprises. La condition d’équilibre d’un tel système est l’égalité entre les deux taux, naturel et monétaire.

Les déterminants monétaires du taux d’intérêt dans l’analyse keynésienne

Le taux d’intérêt ne détermine pas, dans l’analyse keynésienne, la répartition du revenu entre consommation et épargne, celle-ci étant fonction de la propension marginale à consommer des agents. Il détermine en revanche la répartition de l’épargne entre encaisses monétaires et titres.

Le taux d’intérêt est ici le prix de la renonciation à la liquidité. Il est déterminé dans cette analyse sur le marché monétaire par confrontation de la demande de monnaie (selon les trois motifs keynésiens de transaction, précaution et spéculation) et de l’offre de monnaie, contrôlée par les autorités monétaires.

L’essai de synthèse de la théorie des fonds prêtables

Le taux d’intérêt est ici déterminé par confrontation de l’offre et de la demande de fonds prêtables. L’offre de fonds prêtables est composée à la fois d’actifs monétaires (comme les crédits bancaires) et non monétaires (épargne sous forme d’actifs financiers). De même, la demande de fonds prêtables intègre les liquidités désirées par les agents, ainsi que la demande d’investissement.

Il existe en réalité une multitude de taux d’intérêt car, pour l’épargnant, outre le prix d’une renonciation (à la consommation présente ou à la liquidité), le taux d’intérêt va rémunérer le risque pris par le prêteur. Parmi ces risques, l’agent subit un risque de contrepartie (ou risque de non-remboursement, fonction de l’identité de l’emprunteur), un risque de taux (variation non anticipée des taux d’intérêt dans le futur), ainsi qu’un risque de perte de pouvoir d’achat si l’inflation est non nulle.

Le taux d’intérêt du marché va ainsi intégrer des primes de risques (fonction de la qualité de l’emprunteur, de l’échéance, du degré d’aversion au risque des agents ou de la volatilité observée des taux), ainsi que les anticipations d’inflation des agents.

La détermination du taux d’intérêt nominal

D’après la théorie keynésienne, une augmentation de l’offre de monnaie par les autorités monétaires doit, par le jeu de l’offre et de la demande, provoquer une baisse du taux d’intérêt. Pour les classiques, la création monétaire entraîne une hausse des prix. Des taux d’intérêt bas devraient donc être associés à des périodes d’inflation élevée. Or Gibson a montré empiriquement en 1923 que les périodes d’inflation élevée correspondaient, au contraire, à des taux d’intérêt nominaux également élevés.

I. Fisher (1930) a résolu ce « paradoxe de Gibson ». Les agents, cohérents, raisonnent à pouvoir d’achat constant. Le taux d’intérêt nominal, observé sur le marché, diffère du taux d’intérêt réel d’équilibre, car il intègre le taux d’inflation anticipé par les agents.

La relation de Fisher s’écrit :

Si l’inflation anticipée est peu élevée, le terme r_t Π_t^a de l’équation (1) peut être négligé, et l’équation de Fisher peut être réécrite sous une forme approchée :

Le taux d’intérêt réel est égal au taux d’intérêt nominal, diminué du taux d’inflation anticipé. On parle de taux réel ex ante qui représente la rémunération réelle attendue par les agents sur leur placement, compte tenu de leur anticipation d’inflation. Le taux réel ex post, calculé une fois l’inflation effective constatée, peut différer du taux anticipé si les anticipations des agents se révèlent erronées.

Les agents prennent ainsi leurs décisions de prêt et d’emprunt sur la base de leurs anticipations. On distingue plusieurs processus de formation des anticipations.

• Les anticipations peuvent tout d’abord être régressives : l’anticipation de la valeur d’une variable sur une période t dépend de l’histoire de cette variable, c’est-à-dire de la chronique de ses valeurs passées. Parmi les anticipations de nature régressive, on distingue les anticipations extrapolatives des anticipations adaptatives.
• Les anticipations extrapolatives, développées par Metzler, ne tiennent compte que de l’inflation passée. Le taux d’inflation anticipé est une moyenne, éventuellement pondérée pour tenir compte de la tendance d’évolution des prix, des taux d’inflation passés :

• Les anticipations adaptatives, de Cagan, sont plus élaborées : le taux d’inflation anticipé dépend toujours de ses valeurs passées, mais les agents tiennent également compte de leurs erreurs de prévision passées. On aura par exemple :

• Les anticipations peuvent également être rationnelles (Muth). Il est supposé dans ce cas que les agents intègrent parfaitement toute l’information disponible (présente et passée) pertinente dans leur processus d’anticipation. Les agents sont supposés connaître parfaitement le modèle de détermination des prix et ils l’utilisent en conséquence.

Les calculs de taux d’intérêt

Intérêts simples / intérêts composés

Les intérêts simples (plus de détails ici) font référence à un placement dans lequel le montant des intérêts perçus à chaque échéance n’est pas réintégré dans le capital placé.

Soit i : taux d’intérêt de la période (en nombre décimal),

S₀ : la somme placée initialement,

S_n : la somme à rembourser à l’échéance. S_n représente la valeur acquise du capital S₀ placé pendant n périodes :

S_n = (1 + ni)S₀

Une somme S₀ placée à intérêts composés (ou capitalisés) (plus de détails ici) fait référence à un placement sur plusieurs périodes dont les intérêts sont replacés avec le capital.

S_n = (1 + i)n S₀

L’intérêt est dit composé car l’intérêt acquis au cours d’une période est incorporé au capital et devient à son tour productif d’intérêts au cours des périodes suivantes.

Capitalisation / actualisation

Un emprunt ou un placement donne généralement lieu à des entrées ou des sorties de flux financiers à des dates différentes tout au long de sa durée de vie. Ces différentes sommes, évaluées à des dates différentes, ne sont pas, pour cette raison, directement comparables. Un agent n’est en effet pas indifférent à la date de perception ou de versement de flux financiers, notamment car il existe une préférence pour le présent. Ainsi, comparer différentes sommes nécessite de les évaluer à la même date.

La capitalisation consiste à évaluer la valeur acquise par un capital (S₀) à la date d’échéance (n) (traditionnellement sur la base d’intérêts composés) :

S_n = S₀ (1 + i)n

avec i : taux de capitalisation et (1 + i) : facteur de capitalisation.

À l’inverse, l’actualisation consiste à évaluer l’équivalent actuel (en t = 0) d’une somme future. On calcule ainsi la valeur actuelle ou valeur présente d’un investissement, c’est-à-dire de flux de revenus perçus à des dates futures.

i est ici appelé taux d’actualisation. Il représente en général le coût d’opportunité de l’investissement, c’est-à-dire le rendement le plus élevé qui pourrait être obtenu par ailleurs.

1/ (1+i) est appelé facteur d’actualisation.

L’investisseur peut comparer la somme actualisée de ce que son placement va lui rapporter, c’est-à-dire sa valeur présente ou valeur actuelle (VA), à son investissement initial, c’est-à-dire à ce qu’il lui a coûté (I₀). La différence entre les deux est la valeur actuelle nette (VAN) :

VAN = VA – I₀

Une VAN positive signifie qu’un investissement rapporte plus qu’il n’a coûté et est donc a priori rentable.

Taux équivalent / taux proportionnel

Les taux d’intérêt s’appliquent à une période donnée, en général l’année. Lorsque la durée d’un placement inclut des sous-périodes (des fractions d’année par exemple), il importe de calculer le taux d’intérêt correspondant. Le taux équivalent est le taux qui correspond à une sous-période quand les intérêts sont composés.

C’est donc un taux périodique qui en fin d’année permet d’obtenir la même somme qu’un versement annuel d’intérêt. Il est égal à :

i_p = (1+i)^i/p – 1

avec i le taux d’intérêt annuel, p le nombre de périodes composant l’année et i_p le taux par période équivalent à i.

Un taux proportionnel ne tient pas compte de la capitalisation des intérêts. Le taux proportionnel i_p est alors égal à :

i_p = i / p

Le rendement des titres financiers

Un titre financier donne droit à l’acheteur de percevoir une série de flux monétaires dans le futur. Nous nous baserons ici sur le cas type d’une obligation classique, les mécanismes étant similaires pour les autres titres de dette négociables
(comme les titres de créance négociables par exemple).

Les éléments d’une obligation

L’obligation est tout d’abord caractérisée par différents prix.

• Les valeurs de l’obligation

La valeur nominale de l’obligation (ou nominal) correspond à la valeur faciale du titre. Elle détermine la valeur du coupon, c’est-à-dire de l’intérêt versé.

Le prix d’émission est le prix d’achat du titre au moment de l’émission. Ce prix peut être égal à la valeur faciale du titre, ce dernier est alors dit émis au pair.

Généralement, les titres bénéficient d’une prime d’émission : le prix d’achat est inférieur à la valeur faciale du titre (émission au-dessous du pair).

La valeur de remboursement peut de même s’effectuer à l’échéance au pair.

L’obligation peut également bénéficier d’une prime de remboursement. Dans ce cas, le remboursement s’effectue au-dessus du pair. Il existe en pratique plusieurs modalités de remboursement des emprunts.

Sa valeur courante est son prix (voir infra).

• Les procédures de remboursement

On distingue trois procédures de remboursement (ou amortissement).

L’amortissement in fine consiste à rembourser l’intégralité de l’emprunt à l’échéance.

L’amortissement par tranches égales (ou séries égales) répartit de façon identique la charge de remboursement sur la durée de vie du titre. Chaque année une fraction K/n du capital (K) est remboursé, avec n le nombre d’années de remboursement.

Les intérêts versés, portant sur le capital restant dû, sont donc décroissants.

Enfin, dans le cas de l’amortissement par annuités constantes, l’emprunteur cherche à débourser, chaque année, une somme identique, comprenant un montant croissant de capital et décroissant d’intérêts.

• La rémunération de l’obligation

L’obligation est assortie d’un taux facial (ou taux nominal). Chaque année, le prêteur reçoit des intérêts, c’est-à-dire le coupon (C) :

C = i₀ × N

avec i₀ le taux facial et N le nominal de l’obligation.

Le taux facial peut être fixe, c’est-à-dire que le même taux d’intérêt est appliqué tout au long de la durée de vie de l’obligation. Il peut également être variable (ou révisable) sur la base d’un taux de référence.

Il existe des cas particuliers d’obligations. On distingue notamment les obligations dites à coupon zéro, qui ne fournissent aucune rémunération tout au long de leur durée de vie. Leur rendement est déterminé par la différence entre le prix d’achat et le prix de vente. Les rentes perpétuelles procurent à l’inverse un revenu annuel sur une période illimitée, mais ne sont en principe jamais remboursées.

Taux actuariel et prix d’un titre

Une fois émise, une obligation fait l’objet d’une cotation sur le marché secondaire. C’est à ce prix (ou cours) qu’elle peut être revendue avant son échéance. Le prix de revente est incertain : il dépend des caractéristiques du titre, mais également des conditions de marché, et plus particulièrement de l’évolution des taux d’intérêt.

Le cours d’un titre (ou prix d’un titre, valeur actuelle ou valeur présente), sur un marché efficient, sera égal, à tout moment, à la somme actualisée des flux monétaires procurés par la détention de ce titre.

avec P_t : cours du titre à la date t,

F_t : flux monétaires procurés par la détention du titre (coupons et amortissement),

i : taux d’actualisation (taux au comptant prévalant sur le marché pour les différentes échéances considérées).

Afin de comparer plusieurs placements aux caractéristiques différentes (montant, flux de capitaux, échéance), on calcule le taux de rendement propre à chaque placement. C’est le taux actuariel ou taux de rendement interne (TRA ou TRI) qui est le taux d’actualisation annulant la VAN du titre. C’est donc le taux pour lequel la somme actualisée des flux monétaires reçus, liés à la détention d’un titre, est égale au prix d’achat du titre.

Questions à choix multiples (QCM) sur les taux d’intérêt

Phrases	Vrai	Faux
1- Le taux d’intérêt réel n’est jamais supérieur au taux d’intérêt nominal. 2- Le taux de rendement actuariel d’un titre est un taux ex ante, non garanti. 3- Pour un taux annuel donné, le taux équivalent par sous période est supérieur au taux proportionnel par sous période. 4- À caractéristiques comparables, les intérêts versés pour un emprunt in fine sont plus élevés que pour un emprunt amortissable par tranches égales. 5- Le taux d’intérêt naturel est fixé sur un marché. 6- Pour les keynésiens, l’épargne des ménages est fonction croissante du taux d’intérêt. 7- Quand les anticipations sont rationnelles, les agents ne font pas d’erreurs de prévision. 8- L’écart de rémunération entre intérêts simples et intérêts composés sera d’autant plus élevé que la durée du placement sera longue. 9- Pour les classiques, le taux d’intérêt est le prix de la renonciation à la liquidité. 10- Une prime d’émission signifie que le titre est émis au-dessous du pair.

Réponses

1- Faux, le taux d’intérêt réel peut devenir supérieur au taux nominal en période de baisse des prix, c’est-à-dire de déflation. Comme l’a montré Irving Fisher, la crise dans ce cas est alors aggravée par l’apparition de situation de surendettement et d’insolvabilité des débiteurs.

2- Vrai. Le calcul du TRA suppose en effet que les revenus procurés par le placement tout au long de sa durée de vie sont replacés dans les mêmes conditions (c’est-à-dire au même taux d’intérêt) qu’au départ. Or les taux du marché peuvent
varier dans le temps.

3- Faux, il est inférieur. En revanche, si l’on part d’un taux par sous-période donné, le taux annuel équivalent est supérieur au taux annuel proportionnel.

4- Vrai. Dans le cas de l’emprunt remboursable in fine, les intérêts portent sur l’intégralité du capital emprunté sur toute la période. Les intérêts dus sont nécessairement plus faibles dans le cas d’un emprunt régulièrement remboursé tout au long de sa durée de vie.

5- Faux, d’où la difficulté à l’évaluer.

6- Faux. Elle dépend seulement du revenu courant (via la propension marginale à consommer).

7- Faux. Leurs anticipations sont parfaites compte tenu de l’information disponible au moment où ils les forment, mais des évènements imprévisibles (chocs sur l’économie) peuvent survenir.

8- Vrai.

9- Faux. C’est vrai pour les keynésiens, tandis que pour les classiques, c’est le prix de la renonciation à la consommation présente.

10- Vrai.

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