La théorie du producteur

La théorie du producteur présente une grande similitude avec celle du consommateur. En effet, le producteur intervient d’abord sur le marché en tant qu’acheteur des ressources qu’il utilise pour produire un bien déterminé. Mais à la différence du consommateur normal, le producteur est aussi un vendeur de produits.

Le calcul économique du producteur a pour objectif de déterminer la combinaison optimale permettant de maximiser la production et de minimiser les coûts.

Pour maximiser le profit, le producteur doit donc minimiser les coûts de production : travail et capital. Plus la productivité des facteurs et élevée, plus le coût de production est faible.

• En courte période, un seul facteur de production, le plus souvent le travail, est variable, et sa productivité est gouvernée par la loi des rendements décroissants. Le producteur rationnel pousse l’utilisation du facteur variable au moins jusqu’à la phase des rendements décroissants ; au-delà, il détermine la quantité de facteur employé en égalisant la productivité marginale et le prix du facteur.
• En longue période, tous les facteurs sont variables ; le producteur peut alors desserrer la contrainte des rendements décroissants, en augmentant le travail et le capital. Tout d’abord, il doit optimiser la combinaison (capital, travail) en égalisant leurs productivités marginales pondérées par leur prix.

Ensuite, il cherche à atteindre l’Echelle Minimum Efficace (EME), où le coût moyen de longue période est minimum, en augmentant les deux facteurs dans les mêmes proportions (rendements d’échelle croissant ou économies d’échelle). Ainsi, on traitera dans une première section « la théorie de la production » et dans une seconde les coûts de production.

La théorie de la production

La théorie de la production repose sur les hypothèses suivantes :

• L’entrepreneur est rationnel ; il procède à une évaluation des moyens (facteurs de production), et des résultats (quantités de production) ;
• Son unique objectif est de maximiser son profit ;
• Il connaît le prix des facteurs de production ;
• Il connaît de même la demande à son entreprise en fonction de différents prix qu’il peut afficher (fonction de demande du bien concerné) ;
• Il connaît enfin la relation entre le coût total de l’entreprise et sa production totale (productivité).

Le producteur, pour atteindre un optimum de production, réalise sur le marché des biens et des services (un output), grâce à la combinaison de facteurs de production, (des inputs), qui se résument selon les marginalistes à deux composantes : le travail (L) et le capital (K).

Le travail, désigné par la lettre L (de l’Anglais, Labor) ; et le capital (K) désignant tous les biens durables (terrains, bâtiments, machines, outils).

Cette relation de dépendance entre la quantité produite (Q) et les facteurs de production (L, K), est exprimée mathématiquement par la fonction de production

Les caractéristiques de la fonction de production

La fonction de production est un instrument mathématique permettant d’analyser la relation existante entre les facteurs de production (inputs) , et la production réalisée (output).

Autrement dit, la relation qui associe la quantité produite à celle des différents éléments ou « facteurs » nécessaires à cette production.

PT= Q = f (K, L)

On peut illustrer la plupart de ses caractéristiques à travers la fonction classique : Q= f(K,L) à savoir :

• La prévisibilité : en permettant de prévoir les quantités de facteurs nécessaires pour réaliser une production déterminée (cette relation n’est pas constante puisque les technologies et le savoir faire évoluent) ;
• L’homogénéité des facteurs de production ;
• La divisibilité : puisque la fonction de production est continue et dérivable, on peut donc dériver la fonction par rapport à L ou K pour obtenir la productivité totale par chaque facteur pour obtenir la productivité moyenne ;
• La substituabilité ou la complémentarité des facteurs de production, qui signifie la possibilité de substituer une quantité d’un facteur K à un facteur L tout en gardant le même volume de production (combinaisons techniques dans l’entreprise) ;
• La fonction de production néoclassique admet toujours, en effet, la substitution entre les facteurs, d’où sa forme suivante :

Remarque : le concept de fonction de production a été inventé par l’économiste Britannique Philip Wicksteed (1894). Pour chaque technologie de production, il est possible de construire des fonctions de production différentes.

Par ailleurs, l’entrepreneur doit d’une manière permanente prendre des décisions relatives à la nature du produit, la quantité à produire, la méthode de production et le prix de vente du produit.

Ces décisions sont soit de court terme (<1 en général) soit de long terme (plus d’un an).

L’équilibre à court terme (raisonnement à partir d’une seule variable)

L’augmentation de la productivité peut être obtenue dans le court terme en faisant varier le facteur aisément variable « Le travail » et en maintenant constant le facteur capital : On parle de rendements factoriels

Considérons une fonction à deux facteurs de production : un facteur fixe, le capital, entraînant un coût fixe et un facteur variable, le travail, entraînement un coût variable, cette fonction de production permet de mettre en évidence :

A- La production Totale (PT)

B- La production moyenne (ou productivité moyenne) : PM

la productivité moyenne (PM) du facteur L est réalisée en divisant la productivité totale par le nombre de travailleurs :

C- La production marginale (ou productivité marginale) : Pm

Le produit marginal ou productivité marginale d’un facteur de production parfaitement divisible mesure la variation de la quantité produite pour une variation infiniment petite (infinitésimale) de la quantité de facteur.

Le produit marginal mesure donc le rythme de variation de la production (X), c’est-à-dire, par définition, la dérivée de la fonction de production par rapport au facteur considéré (L) soit :

D- Evolution de la production moyenne et de la production marginale

Ces deux productions (moyenne et marginale) et aussi la production totale vont se manifester dans le cadre de la loi des rendements non proportionnels :

l’accroissement d’un facteur de production a dans le temps un rendement plus que proportionnel, et ensuite moins que proportionnel des quantités produites.

E- La loi des rendements factoriels décroissants

la loi des rendements décroissants, exprimée pour la première fois par David Ricardo. Cette loi part d’un principe simple : on commence d’abord par porter son effort là où il est le plus rentable, et on n’exploite le reste que si cela se révèle vraiment nécessaire. Cette loi est surtout valable pour des sociétés fondées sur l’agriculture et l’élevage (l’industrialisation fait au contraire souvent apparaître des lois de rendement croissant).

Lorsqu’on augmente un facteur variable en maintenant les autres facteurs fixes au-delà d’un seuil, la productivité marginale devient décroissante. Cette loi n’exclut pas l’existence d’une première phase où les rendements seraient croissants.

En effet, lorsque le facteur variable augmente, il y a de moins en moins de facteur fixe disponible par unité de facteur variable, et l’utilisation du facteur fixe devient de plus en plus intensive.

Illustration

Prenons l’exemple d’un champ à taille fixe (K) et d’agriculteurs en nombre variable (L) et croissant, si on augmente sans cesse le nombre d’agriculteurs sans augmenter la taille du champ, il arrivera un moment où les agriculteurs ne serviront plus à rien (leur rendement va chuter), si ce n’est à détruire leur espace de travail

La loi des rendements factoriels décroissants est exprimée par la courbe de productivité marginale.

La productivité moyenne n’est que la conséquence de la productivité marginale.

En employant 1 à 2 ouvriers, le producteur se trouve dans la phase des rendements croissant.

Au-delà de deux ouvriers, il est dans la phase des rendements décroissants, c’est-à-dire, dans la phase ou chaque ouvrier supplémentaire produit moins que le précédent.

F- La relation PM et Pm et la phase d’efficacité optimale

La relation entre les courbes de PM et de Pm permet d’observer trois zones de production distinctes :

Zone I : elle va de 0 jusqu’au niveau où la PM est maximum, soit jusqu’au niveau d’utilisation de 3 ouvriers, la Pm est alors élevée permettant à la PM de croitre ;

Zone II : elle se situe entre le point maximum de la PM est le point où la Pm devient nulle, elle correspond à l’utilisation de 4 à 5 ouvriers ;

Zone III : elle se situe dans l’espace où la Pm devient nulle, soit au-delà de 5 ouvriers

Interprétation

Le producteur cherchera à éviter la fois les zones I et III

• il évitera la zone I où il y a un manque à gagner. En effet tout ouvrier supplémentaire dans cette zone produit plus que la productivité moyenne par ouvrier, ce qui fait augmenter rapidement la productivité totale.
• Dans la zone I, la main d’œuvre est insuffisante pour le travail optimal de la terre.
• Il évitera la zone III, où il y a une perte, un 6ème ouvrier fera ainsi baisser la productivité totale, vu que sa productivité marginale est négative.

Dans la zone III, la terre est insuffisante pour l’utilisation optimale de la main d’œuvre.

Conclusion

Seule la zone II (phase efficiente) est favorable puisqu’il y a là une correspondance optimale entre la quantité de main d’œuvre et la superficie agricole.

La phase efficiente est donc celle où la Pm doit être positive et décroissante. Elle peut être conçue à partir du maximum de la productivité moyenne, montrant que le producteur maximise son efficacité globale.

Formalisation mathématique

Zone I : la productivité marginale atteint le maximum au point d’inflexion de la courbe de productivité totale :

Pm = Δx / ΔL = f’_L(Ko, L)

Admet donc un maximum, lorsque sa dérivée première s’annule, soit lorsque :

f’’_L (Ko, L) =0

Zone II : la courbe de productivité marginale passe par le maximum de la courbe de productivité moyenne.

La courbe de productivité moyenne atteigne son maximum, lorsque sa dérivée première s’annule.

PM = Q / L = f (Ko, L) / L

Cette fonction est de la forme : Y= U / V avec Y’ = (u’v –uv’) / V²

Productivité marginale = productivité moyenne

Conclusion : la productivité marginale est donc égale à la productivité moyenne, lorsque la productivité moyenne est maximale

Zone III : la productivité marginale devient nulle au point où la courbe de productivité totale est maximum.

PT= f (Ko, L) est maximale, lorsque f’_L (Ko, L) =0

L’équilibre à long terme (raisonnement à partir de deux variables)

A long terme, tous les facteurs sont variables. Deux nouvelles questions peuvent donc se poser au producteur.

• La combinaison des deux facteurs de production est elle optimale ?
• La taille de l’entreprise est elle optimale ?

Trois types de comportement sont donc à étudier en longue période :

• Le choix de la combinaison (K, L) optimale pour un volume de production donné ;
• Le changement d’échelle sans substitution (la modification de la taille de l’entreprise peut se faire sans modification technologique) ;
• Le changement d’échelle avec substitution (avec modification technologique en modifiant le rapport capital/travail)

Les composantes de l’équilibre à long terme

Sur le plan formel, la théorie microéconomique utilise ici un modèle analogue à celui de la théorie des courbes d’indifférence. En effet, à l’instar du consommateur qui choisit entre deux biens X et Y, le producteur, lui effectue un arbitrage entre deux facteurs K et L.

les courbes d’indifférence vont devenir des « courbes « d’iso produit » ou « isoquants » indiquant les combinaisons (K, L) qui
permettent un même niveau de production ; les droites budgétaires deviennent des « droites d’isocoûts » indiquant les combinaisons de facteurs possibles pour un budget donné ; bien entendu, l’équilibre du producteur se situera au point de tangence d’une droite d’isocoût et d’un isoquant.

1) Les choix technologiques (contrainte technologique) : Les isoquants

La fonction de production comporte une infinité d’isoquants, une pour chaque niveau de production.

Illustration :

Soit trois séries de combinaisons (trois isoquants) correspondant à trois niveaux de production différents :

Q= 100 ; Q= 130 ; Q=150

Un isoquant est une courbe indiquant l’ensemble des combinaisons de capital (K) et le travail (L) qui pour un état donné des
techniques, permettent de produire une même quantité de production.

Interprétation :

L’entrepreneur peut réaliser sur l’isoquant I une production de (100) en utilisant (3L, 7K) ; (2L, 4K) ; ou toute autre combinaison de L et K sur cet isoquant.

Seule la partie décroissante de la pente (zone A) intéresse le producteur puisque c’est la zone où il y a substitution d’un facteur par autre (passage de B à C). En dehors de cette zone, toutes les combinaisons qui se présentent traduisent une augmentation des deux facteurs pour réaliser une même production.

• Caractéristiques des isoquants

Les isoquants ont les mêmes caractéristiques que les courbes d’indifférence exprimant la rationalité du producteur :

Un isoquant est décroissant : (pente négative : zone A), puisque la diminution d’un facteur (signe négatif) doit être compensée par l’augmentation de l’autre facteur (signe positif) pour garder la même production (les quantités des deux facteurs évoluent donc nécessairement en sens inverse, le long d’un isoquant d’où la courbe est décroissante) ;

Un isoquant est normalement convexe (courbé vers le bas) : En conséquence, la valeur absolue de sa pente en chaque point tend à diminuer, quand ou se déplace de gauche à droite le long de la courbe.

Cela implique qu’une même diminution du capital (K) ne peut être compensée que par une quantité croissante de travail (L) pour garder la même production ;

Deux isoquants ne se coupent jamais.

• La mesure des choix technologiques (le Taux Marginal de Substitution Technique : TMST)

Là encore, sur le plan formel, l’analyse est identique à celle que nous déjà développée à propos du consommateur et du taux marginal de substitution entre deux biens.

Ont peut calculer le TMST à partir d’un isoquant : le TMST de L à K (TMST_lk) désigne le montant de (K) qu’une entreprise est prête à céder pour obtenir une unité supplémentaire de (L) tout en restant sur le même isoquant.

D’un point de vue mathématique, ce taux est mesuré par la dérivée de (K) par rapport à (L) :

Le taux marginal de substitution technique (TMST) entre le capital et le travail mesure la variation de la quantité du capital qui est nécessaire, le long d’un isoquant, pour compenser une variation infiniment petite de la quantité de travail.

TMST_lk = -dk /dL

Le TMST lk diminue lorsqu’on descend le long d’un isoquant .

Le TMST est égal au rapport des productivités marginales des deux facteurs (L,K) :

Exemple :

Calcul du TMST LK pour les trois isoquants du tableau (précédent, zone A) Nous avons TMST_lk = – dK/dL

Pour l’isoquant (I) par exemple, lorsqu’on se déplace du point B au point C, l’entreprise peut choisir la combinaison C à la place de B en renonçant à deux unités de (K) pour une unité de L.

-dK / dL =-(-2) / 1 =2

Le TMST LK =2 signifie, que deux unités de K produisent la même quantité qu’une unité de L.

Remarque :

Le comportement rationnel du producteur (choix) ne peut se faire simplement en termes de productivités marginales des facteurs, et de leurs rapports (TMST), il doit en outre faire intervenir le coût des facteurs pour trouver la combinaison économique la moins chère (optimale), d’où le raisonnement en termes d’isocoût.

2) La contrainte budgétaire : la droite d’isocoût

Une droite d’isocoût représente l’ensemble des combinaisons possibles de (L) et (K) compte-tenu du coût total (dépense) de production de l’entreprise(C) et des prix des facteurs de production travail et capital (P_L et P_k)

L’équation du coût total est :

CT = P_L . L + P_K . K (1)

On peut transformer cette équation (1) de façon à exprimer (K) en fonction de (L), donc :

P_K .K =-P_L . L + C_T (2)

D’où : K= -PL/PK . L + (CT / PK)= aL +b

En divisant par K dans l’équation (2)

K est l’équation de la droite d’isocoût dont la pente est –PL /Pk

Remarque : cette droite d’isocoût, présente pour le producteur, les mêmes caractéristiques et joue la même fonction que la droite du budget (contrainte budgétaire) pour le consommateur.

Une fois connue l’équation de l’isocoût, on peut tracer la droite représentant toutes les combinaisons possibles de (K) et (L) en dépensant CT.

• Représentation graphique de la droite d’isocoût

Si les prix des facteurs de (L) et K sont :

P_L = P_K =1 et le coût total : CT=9 = P_L.L + P_K . K

Donc CT = 1L + 1 K

Cela signifie que l’entrepreneur peut acheter au maximum :

9 L et 0K (point B) ; L = CT / P_L = 9 / 1 =9

9 K et 0L (point A) ; K = CT / P_K = 9 / 1 =9

Ou toute autre combinaison sur la ligne AB

Calculons la pente de cette ligne (AB):

On a : CT = 9 = 1L +1K

Exprimons (K) en fonction de (L)

1K =9-1L

Dérivons (K) par rapport à (L)

K’_L = -1

La Droite d’isocoût a donc une inclinaison exprimée par une pente =-1. Cette pente exprime le rapport des prix des deux facteurs.

Chaque fois que le producteur renonce à une unité de K, il peut la remplacer par une unité de (L), tout en restant dans la limite de son budget d’investissement.

L’optimum du producteur (combinaison optimale) : détermination géométrique

La combinaison optimale du producteur est celle qui maximise sa production et minimise sa contrainte de dépense. Elle se détermine graphiquement par le point de tangence entre l’isoquant et l’isocoût. Ce point exprime une égalité entre la valeur
absolue de la pente de l’isocoût (le raisonnement est ainsi analogue) à celui du consommateur lorsque la droite du budget est confortée aux courbes d’indifférence).

• La pente de l’isoquant est égale au rapport des productivités marginales des facteurs :

F’L / F’K = PmL / PmK = TMST

• La pente de l’isocoût se déduit de son équation :

CT=P_LL + P_k.k ⇨ k = (-PL / PK) L + CT / PK

D’où la pente de l’isocoût =-PL/PK

• A l’équilibre ou point de tangence d’un isoquant et d’un isocoût on a :

Ou encore

PmL / PL = PmK / Pk

La combinaison optimale qui maxime la production et minimise au même temps le coût, est déterminée par l’égalisation des productivités marginales des facteurs de production pondérées par leurs prix.

Remarque : (L’analyse est ainsi similaire à celle du consommateur lorsque) :

Umx / Umy = PX / PY

Illustration

Si les prix des facteurs sont :

PL = Pk= 1 et le coût total : CT= 9

et que nous disposons des isoquants I (Q=100),

et II (Q=130).Nous avons ainsi la représentation suivante :

L’entreprise, limitée par son apport total CT=9 et par les prix des facteurs de production P_L= 1 et P_K =1, peut atteindre avec son isocoût, l’isoquant le plus élevé II, au point C. Elle atteint l’optimum en achetant 5 unités de travail et 4 unités de capital.
Au point d’équilibre C nous avons :

TMST LK = Pm_L / Pm_K = P_L / P_K = 1

L’optimum du producteur (détermination mathématique) : la maximisation de la production ou du profit

Même si toutes les entreprises cherchent à maximiser leurs profits, leurs stratégies peuvent viser à un moment donné, l’élargissement de leur marché, et donc la maximisation de leur production.

1) La maximisation de la production sous la contrainte des coûts

Il s’agit de maximiser par le Lagrangien la production à partir d’une dépense déterminée (comme dans le cas du consommateur).
On suppose que les prix P_L et P_K des facteurs de production sont indépendants de leurs quantités X_L et X_K et que le producteur peut dépenser une somme fixe :

D= P_L X_L + P_K X_K

Le comportement rationnel du producteur le conduit à maximiser la production sous la contrainte de la dépense (D) le programme d’optimisation s’écrit alors :

Maximiser la production : Q = f (X_L, X_K)

Sous la contrainte : D = P_L X_L + P_K X_K

Il s’agit donc de trouver les quantités d’inputs XL et XK qui annulent les dérivées du Lagrangien :

£ (X_L, X_K, λ) = f (X_L, X_K) + λ (D-P_LX_L –P_K X_K)

Les conditions de 1er ordre pour l’existence d’un extremum

Les conditions de second ordre

On forme une matrice hessienne composée des dérivées secondes par rapport à XL, XK et λ.

Si le déterminant (∆) de H* est > 0 : il y a maximum ;

Si le déterminant (∆) de H* est< 0: il y a minimum.

Illustration

Soit la fonction de production suivante : Q = LK et la contrainte du budget : D= 2L +K = 10

TAF : calculer la production maximum réalisée ?

Réponse : la fonction de la Lagrange obtenue à partir du programme est : £ (L, K, λ)= LK + λ (10 -2L-K)

Condition de premier ordre :

δ£ / δL = K-2λ = 0 K=2 λ (1)

δ£ / δK = L- λ =0 L= λ (2)

δL / δλ = 10-2L-K = 0 10=2L+K (3)

Faisons (2) / (1) donc L / k = 1 / 2 ⇨ K= 2L

Remplaçons K par sa valeur dans (3)

10= 2L+2L =4L donc L= 10 / 4 =2,5

D’où K= 2L= 2.2,5= 5

Donc : (L= 2,5 ; K=5)

Conditions de 2ème ordre :

∆ = 0+2+2=4 d’où ∆> 0 (il s’agit d’un maximum)

Conclusion : le couple (L= 2,5 et K = 5) maximise la production. Donc la production maximum est : Q = LK = 2,5.5 = 12,5 Q max = 12,5

2) La maximisation du profit

Le profit de l’entreprise est l’excédent ses recettes sur son coût total (CT)

La recette du bien X est : R = P.Q

⊼ = R-C

(P = Prix de vente du bien X= Prix du marché), (Q = la quantité vendue de X)

D’où ⊼ = PQ – (P_L XL + P_K XK + C)

Profit = recette –dépense

Comme la fonction de production est : Q= f (XL, XK)

Le profit s’écrit ainsi :

⊼ = Pf (XL, XK) – (P_L XL +P_K XK + C)
= P.Q – (P_LXL + P_K XK+C)

Le profit maximum se détermine à partir de la résolution du système qui réunit les deux conditions suivantes :

Condition du 1er ordre (extremum)

Les dérivées partielles par rapport à XL et XK doivent être nulles :

Le profit est maximum, si chaque facteur est employé jusqu’au moment où sa productivité marginale en valeur égalise le prix d’achat des facteurs.

Donc

P.PmL = P_L = Salaire
P.PmK = P_K = Intérêt

Conditions de second ordre

a- Les dérivées secondes doivent être négatives

∂²π / ∂²XL= P.f’’_xl (XL, XK) <0

∂²π / ∂²Xk= P.f’’_xk (XL, XK) <0

b-Ou bien le déterminant de la matrice carrée soit positif

Illustration

Soit la fonction de production : Q =- L² –K² +5L +9K +2 et la fonction coût : C= 7L +7 K +1

TAF : Calculer le profit maximum réalisé par le producteur si le prix du bien fabriqué X est Px =7 Dollars canadien

Réponse

π= R-C = PQ-C

= 7.(-L² -k² +5L+9K+2)-(7L+7K+1)
= (-7.L₂ -7K² +35L+63K+14)- (7L+7K+1)
= -7L2 -7K2 +28L+56K+13

Conditions premières : annulation des dérivées partielles :

π’L= -14 L +28=0 ⇨ L= 28/14=2 ⇨ L=2
π’K= -14 K +56=0 ⇨ K= 56/14=4 ⇨ K=4

Conditions secondes :

Π »L= -14<0
π »K= -14<0

Donc il y a un maximum, donc (L= 2et k=4) sont les quantités des facteurs qui maximisent le profit.

Remplaçons ces valeurs dans la fonction de production Q :

Q=- L² -K² + 5L+9K+2
A.N : Q= – (2)² –(4)² + 5(2) +9 (4) +2
Q= 28
R= PQ= 7.28=196
C= 7L +7K+1 = 7(2) +7 (4) +1 =43
π= R-C + 196-43 = 153

Donc le profit maximum réalisé par le producteur est =153

le changement d’échelle (équilibre dynamique)

Si l’entreprise change sa capacité totale de production (son échelle de production) alors que les prix des facteurs de production restent constants, l’isocoût de l’entreprise se déplacera d’une manière parallèle, vers le haut si la dépense totale
augmente et vers le bas si la dépense totale baisse (voir figure n° 23 ci-dessous).

Représentation du changement d’échelle : La courbe d’expansion ou « sentier d’expansion ».

Imaginons un apport total de l’entreprise évoluant ainsi selon les courbes suivantes : C1 = 5, C2=9 et C3=13.

Ces trois apports correspondent à 3 points d’équilibre du producteur (E1, E2 et E3) est dénommée « courbe d’expansion » ou « sentier d’expansion » de l’entreprise ; elle décrit comment évolue la combinaison des facteurs, pour un prix relatif des facteurs constants, quand on développe les capacités de production.

Remarque :

• Quand le sentier d’expansion est une droite : les deux facteurs progressent dans les mêmes proportions durant l’expansion de l’entreprise ; il s’agit donc d’un changement d’échelle sans substitution (fonction de production homogène) ;
• Si le changement de taille s’accompagne de substitution entre les deux facteurs, le sentier d’expansion aura une forme courbée (changement technologique).

Illustration :

Traçons les trois lignes d’isocoûts : C1 =5; C2=9 et C3 =13 sur le graphique représentant les trois isoquants suivant : Q1= 100, Q2=130 ; Q3 =150.29

Commentaire :

Les 3 courbes d’isocoût sont parallèles vu que le rapport des prix : P_L/P_K =1 Avec un apport total C1=5, le producteur atteint l’équilibre au point E1 en achetant (3L et 2 K) ; avec C2=9, il est en équilibre au point E2 en utilisant (5L et 4K) et avec C3=13 ; il achète (7 L et 6 K) pour atteindre l’équilibre en E3.

Les rendements d’échelle à travers l’étude des fonctions de production homogènes

En longue période, l’entreprise subit normalement la loi des rendements décroissants.

La loi des rendements décroissants montre que si un facteur de production est augmenté au-delà d’un certain point, le volume de production additionnelle (productivité marginale) commence à diminuer.

En longue période, l’entreprise peut tenter d’améliorer ses rendements (sa productivité) en développant ses capacités de production.

Si elle augmente l’ensemble des facteurs de production dans les mêmes proportions, on dit qu’elle change « d’échelle » ; le rapport K/L reste inchangé ; on étude alors des « rendements d’échelle ou de dimension » ;

Si l’entreprise modifie son modèle technologique et change la proportion des facteurs, on étudie des « rendements de substitution » car l’entreprise se développe en substituant un facteur à un autre.

Les rendements de substitution, dans la mesure où ils dépendent de l’évolution technologique et de celle du prix relatifs des facteurs, sont imprévisibles.

En revanche, on peut faire des hypothèses sur l’évolution des rendements, à technologie et à prix des facteurs constants, puisqu’ils vont alors dépendre de la rationalité des entrepreneurs.

C’est pourquoi l’étude des rendements d’échelle occupe une place plus importante dans l’analyse microéconomique. Ainsi, on va analyser les rendements d’échelle à travers un instrument mathématique privilégié : les fonctions de production homogènes.

1) Les fonctions de production homogènes.

Le concept de rendement d’échelle indique comment évolue la production en longue période quand on augmente la quantité des deux facteurs dans les mêmes proportions (K/L constant).

Les rendements d’échelle permettent donc de mesurer l’impact de la variation des facteurs de production sur le volume ou bien le niveau de production.

En effet, lorsque les facteurs de production changent comment la production change –t- elle? Augmente-t-elle de façon plus que proportionnelle, moins que proportionnelle ou équiproportionnelle ?

Cela dépend du degré d’homogénéité de la fonction de production.

Une fonction à deux variables indépendantes est homogène de degré K, si en multipliant chacune des variables indépendantes (L et K) par un nombre entier positif (t) la fonction est multipliée par tk.

Ainsi, P= f (L, K) est homogène de degré K si :

f (tL, tK)= t^K f (L, K)

Illustration

Considérons la fonction : f (L, K) = L² + 4LK +3K²

Multiplions chacune des variables par (t) nombre entier positif :

f (tL, tK) = (tL)² +4 (tL) (tK) +3 (tK)²
= t² L² + 4 t² LK + 3 t² K²
= t² (L² + 4 LK +3K² )
= t² f (L, K)

D’où : f (tL, tK) = t² f (L, K)

Conclusion : la fonction f (L, K) = L² +4 LK +3k² est donc une fonction homogène de degré 2 (K=2). Economiquement, cela signifie que si nous doublons pour cette fonction chacun des facteurs de production Let K, lorsque t= 2, la production se trouve multipliée par 4 c’est-à-dire par t^K ou (2)².

La production augmente donc plus que proportionnellement que les augmentations des facteurs : on se trouve donc dans une phase de rendements d’échelle croissants.

D’une manière générale :

• Si K= 1, la production est multipliée par t¹ lorsque les facteurs sont multipliés par (t) : les rendements sont constants ;
• Si K> 1, la production est multipliée par t^k > t lorsque les facteurs sont multipliés par (t), les rendements sont alors croissants ;
• Si K<1, la production est multipliée par t^K < t lorsque les facteurs sont multipliés par (t), les rendements sont alors décroissants.

Fonction de production et répartition du produit : le théorème d’Euler

Les fonctions de production homogènes satisfont à l’identité d’Euler, c’est-à-dire, à l’équation suivante :

L f’ L (L, K) + K f’ K (L, K) = k f(L, K)

k étant le degré d’homogénéité de la fonction.

Illustration :

Reprenons l’exemple précédent : f (L, K)= L² +4 LK +3K² (fonction de degré 2)

Nous avons :

f’_L (L, K) = 2L +4K
f’_K (L, K) = 4L +6K

Développons le terme de l’identité d’Euler :

L (2L +4 K) +k (4 L +6K) = 2L² +4KL +6K₂ +4KL
= 2 L² +8KL +6K²
= 2(L²+4KL +3K²)
= 2 f (L, K)

Ce résultat, signifie qu’étant donné que la fonction est homogène de degré 2, la somme des produits de chaque dérivée partielle par la variable correspondante (L ou K) est égale au double de la fonction f (L, K)

Cette identité nous intéresse surtout lorsque k= 1

Ainsi, nous aurons l’égalité suivante :

Lf’_L (L, K) + K f’_K (L, K) = f (L, K)

La valeur de la production f’ (L, K) est égale à la somme des quantités utilisées de chaque facteur, multipliée par leurs productivités marginales respectives, nous pouvons remplacer f’_L et f’_k par les prix P_L et P_K , ce qui nous donne ;

LP_L+K P_K = f (L, K)

Economiquement, cela signifie que le produit est partagé en deux parts :

L’une va au travail, Lf’_L (L, K) représentant le montant des salaires et l’autre va au capital K f_’K (L, K) représentant le montant des intérêts versés au capital. Autrement dit, si l’entreprise achète chaque facteur selon sa productivité marginale physique, la rémunération totale des facteurs est égale à la valeur de la production.

Cette propriété est connue sous le nom de règle d’épuisement du produit :

Le produit est totalement « épuisé » par les rémunérations versées aux propriétaires des facteurs : c’est-à-dire les travailleurs et les capitalistes ; lorsque k=1.

La fonction de production Cobb-Douglas

Cette fonction est très utilisée dans l’analyse économique, elle s’écrit ainsi :

Y = A K^α L^{1- α}

Y : production totale ;

K et L : capital et travail ;

A : coefficient représentant la dimension de l’économie considérée ;

α : Nombre entier positif compris entre 0 et 1 .

Cette fonction est homogène de degré 1, c’est-à-dire lorsque chaque facteur est multiplié par un nombre entier positif (t), toute la fonction se trouve multipliée par (t) :

A (tk)^α (tL)^1-α = At^α K^α . t^1-α . L^{1- α}

= tA K^α L^{1- α} = tY

Les coefficients α et 1- α représentent économiquement les élasticités partielles de la production par rapport, respectivement, à K et L ainsi :

si K augmente de 1℅, la production augmente de α ℅ ;

si L augmente de 1℅, la production augmente de (1- α) ℅ ;

et si K et L augmente de 1℅, la production augmentera de (α +1 – α =1) ℅. Le rendement d’échelle est constant.

Remarque : la fonction Cobb Douglas permet dans de nombreux pays de mesurer d’une part l’évolution dans le temps de la productivité totale, et d’autre part, d’analyser l’évolution de la répartition du produit global entre le revenu du travail et le revenu du capital.

Les élasticités

Deux élasticités intéressent le producteur : l’élasticité de sa production par rapport à ses investissements en facteurs, et l’élasticité de substitution technique.

L’élasticité de la production par rapport aux facteurs

L’élasticité de la production par rapport aux facteurs exprime le degré de variation de la production par rapport au degré de variation de l’un des facteurs de production utilisés.

• Sa formule s’écrira pour le facteur L :

eQ/L = (δ Q/Q) / (δ L/L) = (δQ / δL) . L / Q

• Elle s’écrira pour le facteur K :

eQ/K = (δ Q/Q) / (δ k/k) = (δQ / δK) . (K / Q)

Illustration

Pour la fonction Cobb- Douglas (A K^α L^{1- α} ) les élasticités de la production par rapport aux facteurs sont exprimées par les exposants de K et L, soit par ( α ) et (1-α).

Vérification : eQ/K et eQ/L avec Q= A K^α L^{1- α}

DONC : EQ / L = 1- α

A.N : si nous trouvons α = 33℅ et (1- α) = 66℅, cela signifie que le capital influe pour (1/3) sur la production et la production et le travail par (2/3), et si on fera varier le capital de 1℅, la production variera de 1.0, 33 = 0,33℅, et si on varie le travail de 1℅,
la production variera de 0.66℅.

L’élasticité de substitution technique

Elle permet de mesurer le degré de substitution d’un facteur un autre, lorsque les prix relatifs de ces facteurs varient.

L’élasticité de substitution du facteur K au facteur L est égale à :

• Plus la valeur de cette élasticité est grande plus la possibilité de substitution est grande lorsque les prix relatifs varient ;

• Lorsque les deux facteurs de production sont complètements (une seule combinaison technique) le rapport (K/L) est constant ,sa dérivée est nulle et donc l’élasticité est nulle.

K/L = constante ⇨ δ (K/L) / K/L = 0 / cte = 0 ⇨ e _substLK = 0 / cte =0

• Lorsque les deux facteurs sont parfaitement substituables, les possibilités de substitution sont illimitées :

Les coûts de production

Le comportement rationnel du producteur le conduit à maximiser la production tant en minimisant les coûts de production, ces derniers sont conditionnés par les niveaux (quantités) de production.

Dans l’entreprise trois types de coûts sont à distinguer :

Le coût Total (CT)

Le coût total correspond à la dépense totale entrainée par la production d’un volume donné :

Il se compose de coûts fixes et de coûts variables :

CT= CF+CVP+CVNP

Les coûts fixes

Appelés également « les coûts de structure ». Ils sont indépendants du volume de production (charges du loyer, de recherches et d’études, d’assurance, gardiennage ; il va de soi qu’ils ne sont fixes que sur une période donnée).

Les coûts variables

Ils dépendent de la quantité produite, ils se devisent en coûts variables proportionnels (matières premières) et coûts variables non proportionnels (frais de personnel).

Le coût moyen (CM)

C’est le quotient du coût total par la quantité produite, on distingue le coût moyen fixe et le coût moyen variable.

CM = CT/Q = (CF+CV)/Q

CFM = CMF = CF/Q

CVM = CMV = CV/Q = (CT-CF)/Q

Donc = nous aurons trois catégories de coûts moyens : CT/Q = CVT/Q + CFT/Q ou encore CM= CVM+ CFM

Le coût marginal (Cm)

Le coût marginal désigne le coût unitaire occasionné pour chaque niveau de production. Autrement dit, c’est le coût occasionné par la production d’une unité supplémentaire.

Exemple

La courbe de CFM décroît de manière continue ;

Les courbes de CVM et CM et Cm ont une forme en U ;Le Cm coupe les courbes de CVM et CM en leurs points les plus bas.

Le calcul de l’optimum par la minimisation du coût : le raisonnement à partir des fonctions de coûts.

Le producteur connaissant la quantité (Q) à produire, doit trouver le coût minimum pour la produire, il s’agit donc de résoudre le système suivant:

Minimiser le coût: CT = P_LL + P_KK + constante avec Q = f (L, K): fonction de production.

La solution passe par l’annulation des dérivées du Lagrangien :

1) Cette fonction admet un extremum pour :

Pour que l’optimum soit réalisé, il faut que le rapport des productivités marginales soit égal au rapport des prix des facteurs.

Les prix PL et PK de ces deux facteurs permettent ainsi la réalisation d’une combinaison ayant un coût minimum sur l’isoquant Q.

2) Conditions de second ordre :

Pour confirmer que cet extremum correspond à un minimum de coût, il faut que dérivées secondes du Lagrangien soient > 0, ce qui est vérifié si la valeur du déterminant H* de la matrice des coefficients est <0.

Si H* = déterminant < 0 ⇨ il y a un minimum.

La fonction d’offre

L’offre est une fonction croissante du prix : Q= O (p).

Comme l’offre est une production et que l’entrepreneur cherche à maximiser sa production, il s’arrêtera de produire lorsque le coût marginal égalisera le prix du marché.

C’est donc la courbe de coût marginal qui détermine les quantités offertes. Celle-ci n’est autre que la courbe d’offre sur le marché.

L’offre étant une fonction croissante du prix, la courbe d’offre correspond à la partie ascendante du Cm. En effet, c’est dans cette partie que le Cm= P> CM

Remarque : si le coût moyen (CM) est supérieur au coût marginal, cela signifie qu’il est aussi supérieur au prix du marché, ce qui veut dire l’entrepreneur produit à perte.

Illustration

Une entreprise dispose de la fonction de coût total (à court-terme) suivante : CT= Q² -10 Q +125

TAF : quelle est la production optimale réalisée si nous nous trouvons devant un marché concurrentiel et que le prix de vente du bien fabriqué passe de 60 Dollars canadien l’unité à 70 dollars canadien.

Réponse :

• La quantité optimale pour du marché P=60 nous avons la règle : P=Cm (l’optimum).

60 = (Q² -10 Q +125)’ =2 Q -10 ⇨ Q= 70/2 =35

Donc la quantité optimale : Q =35 pour P=60

• La quantité optimale pour un prix du marché : P=70

70 =2Q -10 ⇨ Q=80/2 =40

Conclusion :

L’offre est une fonction croissante du prix, plus le prix augmente plus la quantité offerte par le producteur sur le marché augmente

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